Можно ли обыграть казино?

Есть азарт­ная игра — рулет­ка. Пра­ви­ла такие:

  • Есть круг, поде­лён­ный на 38 частей.
  • Из них 18 чёр­ные.
  • 18 — крас­ные.
  • Одно или два «зеро» зелё­но­го цве­та.
  • Игрок ста­вит день­ги на что-то из это­го кру­га.
  • Кру­пье запус­ка­ет шарик. Шарик кру­тит­ся по рулет­ке и выпа­да­ет на одно из полей.
  • Если игрок уга­дал, куда упа­дёт шарик, он заби­ра­ет свою став­ку и сколько-то денег свер­ху. 
  • Если не уга­дал, его став­ка ухо­дит в кази­но.

Ком­би­на­ций ста­вок очень мно­го, поэто­му мы рас­смот­рим самую попу­ляр­ную став­ку на крас­ное или чёр­ное. Все осталь­ные виды ста­вок и их резуль­та­ты счи­та­ют­ся по этой же схе­ме.

Если игрок ста­вит на цвет — крас­ное или чёр­ное, — то полу­ча­ет назад удво­ен­ную сум­му став­ки. Если ста­вит на кон­крет­ное чис­ло — полу­ча­ет в 35 раз боль­ше, чем поста­вил.

Кажет­ся, что с таки­ми выпла­та­ми мож­но посто­ян­но ока­зы­вать­ся в плю­се: ведь доста­точ­но уга­дать цвет, а он выпа­да­ет почти в поло­вине слу­ча­ев. Но всё наобо­рот: гораз­до чаще люди про­иг­ры­ва­ют, чем выиг­ры­ва­ют. Давай­те раз­бе­рём­ся, поче­му так про­ис­хо­дит.

🤔 Такое уже было

Мы уже гово­ри­ли про мате­ма­ти­че­ское ожи­да­ние, когда реша­ли зада­чу про фут­бо­ли­ста. Вкрат­це так: 

  • Мы рас­смат­ри­ва­ем какие-то веро­ят­ные собы­тия в буду­щем.
  • Веро­ят­ность этих собы­тий опи­сы­ва­ет­ся чис­лом. Напри­мер, 1 — веро­ят­ность 100%, собы­тие точ­но про­изой­дёт. 0,5 — собы­тие про­ис­хо­дит в сред­нем в поло­вине слу­ча­ев.
  • Если собы­тие свя­за­но с каким-то выиг­ры­шем или про­иг­ры­шем, мы исполь­зу­ем неслож­ную мате­ма­ти­ку, что­бы оце­нить при­быль­ность той или иной игры. 
  • Вот это чис­ло, кото­рое опи­сы­ва­ет при­быль­ность, — назы­ва­ет­ся мате­ма­ти­че­ским ожи­да­ни­ем. 

Теперь раз­бе­рём­ся чуть глуб­же.

Вероятность событий

Допу­стим, мы кида­ем обыч­ный играль­ный кубик с чис­ла­ми от 1 до 6. Веро­ят­ность выпа­де­ния еди­ни­цы — ⅙, пото­му что все сто­ро­ны куби­ка оди­на­ко­вые и выпа­да­ют слу­чай­ным обра­зом. 

Это мож­но пред­ста­вить в виде про­стой мате­ма­ти­ки:

👉 Если у нас есть несколь­ко рав­но­воз­мож­ных и оди­на­ко­вых собы­тий, то веро­ят­ность наступ­ле­ния любо­го из них рав­на 1/n, где n — коли­че­ство таких собы­тий.

Математическое ожидание

Если взять стро­гое опре­де­ле­ние и напи­сать его про­сты­ми сло­ва­ми, полу­чит­ся так:

Мате­ма­ти­че­ское ожи­да­ние — это когда мы скла­ды­ва­ем про­из­ве­де­ния веро­ят­но­стей каж­до­го собы­тия на их резуль­тат.

Это зна­чит, что мате­ма­ти­че­ское ожи­да­ние — это усред­нён­ный резуль­тат, кото­рый мы полу­чим при каж­дой попыт­ке сыг­рать в игру. Чем боль­ше будет таких попы­ток, тем бли­же наш резуль­тат к мате­ма­ти­че­ско­му ожи­да­нию.

Пояс­ним на при­ме­ре с играль­ным куби­ком. 

Мы зна­ем, что веро­ят­ность выпа­де­ния каж­дой гра­ни — ⅙, а чис­ла на куби­ке идут от 1 до 6. Мы выбро­си­ли в пер­вый раз: выпа­ла 6. Вто­рой раз — 1. Потом 4. Потом 2. Потом 5. И так далее Мож­но ли преду­га­дать, какой будет сред­ний резуль­тат после сотни-другой игр? 

Ока­зы­ва­ет­ся, мож­но. Зная толь­ко веро­ят­ность и чис­ло очков на каж­дой сто­роне куби­ка, мы можем зара­нее ска­зать, каков будет сред­ний резуль­тат выбра­сы­ва­ния это­го куби­ка, если бро­сать его доста­точ­но дол­го. Это счи­та­ет­ся по фор­му­ле:

( ⅙ × 1) + ( ⅙ × 2) + ( ⅙ × 3) + ( ⅙ × 4) + ( ⅙ × 5) + ( ⅙ × 6) = 21/6 = 3,5

Чем боль­ше раз мы кинем кубик, тем бли­же к это­му чис­лу будет наше сред­нее зна­че­ние.

👉 Полу­ча­ет­ся, что мате­ма­ти­че­ское ожи­да­ние пока­зы­ва­ет, какой резуль­тат мы полу­чим в сред­нем, если будем играть в игру доста­точ­но дол­го.

Бросаем кубик за деньги

Зна­ние мате­ма­ти­че­ско­го ожи­да­ния может помочь нам при­нять пра­виль­ное реше­ние во все­воз­мож­ных азарт­ных играх, спо­рах и финан­со­вых делах.

Пред­ставь­те такую игру: вам пред­ла­га­ют бро­сить играль­ный кубик и полу­чить столь­ко руб­лей, сколь­ко выпа­ло на куби­ке. Цена одно­го брос­ка — три руб­ля. Сто­ит играть в такую игру или нет?

С точ­ки зре­ния мато­жи­да­ния — да, сто­ит, и вот поче­му: 

  • Мы зна­ем, что мато­жи­да­ние при каж­дом брос­ке куби­ка — 3,5. В нашей игре это зна­чит, что сред­ний выиг­рыш за бро­сок после услов­ных 1000 брос­ков будет 3,5 руб­ля. 
  • Так как мато­жи­да­ние выше, чем сто­и­мость одно­го брос­ка, то нам нуж­но не про­сто согла­шать­ся на такую игру, а играть в эту игру как мож­но доль­ше, что­бы со вре­ме­нем вый­ти на сред­ние зна­че­ния при­бы­ли 0,5 руб­ля за бро­сок. 

Мож­но кинуть кубик 10 раз под­ряд так, что на нём выпа­дут толь­ко 1, 2 или 3 — и тогда мы как буд­то в мину­се. Но если мы будем играть в эту игру доста­точ­но дол­го, мы будем в выиг­ры­ше.

👉 Глав­ное, что нуж­но запом­нить: мате­ма­ти­че­ское ожи­да­ние не гаран­ти­ру­ет, что мы полу­чим имен­но этот резуль­тат с пер­вой попыт­ки. Может, и с деся­той не полу­чим. Но если мы будем про­дол­жать эти попыт­ки доста­точ­но дол­го, то вот тогда мы точ­но при­бли­зим­ся к нуж­но­му резуль­та­ту.

❌ Только для честных

Мато­жи­да­ние име­ет смысл обсуж­дать, толь­ко если мы зна­ем, что собы­тия дей­стви­тель­но про­ис­хо­дят слу­чай­ным обра­зом. Если про­тив нас игра­ет шулер с несба­лан­си­ро­ван­ным куби­ком, то какие-то чис­ла будут выпа­дать на нём чаще, а дру­гие — реже, и тогда мате­ма­ти­ка намно­го слож­нее, а всё напи­сан­ное выше и далее непри­ме­ни­мо. 

Матожидание и рулетка

Теперь, когда мы зна­ем тео­рию, то можем посчи­тать мато­жи­да­ние для игры в рулет­ку и ста­вок на ней.

Мно­гие дума­ют, что если ста­вить на крас­ное или на чёр­ное, то шан­сы выиг­рать или про­иг­рать рав­ные — 50 на 50. Но это не так. Всё дело в зеро — оно созда­ёт отри­ца­тель­ное мате­ма­ти­че­ское ожи­да­ние для игро­ка, и про­иг­рать полу­ча­ет­ся про­ще, чем выиг­рать. Сей­час вни­ма­тель­но сле­ди­те за циф­ра­ми.

Если у нас одно зеро, то все­го полу­ча­ет­ся 18 чёр­ных + 18 крас­ных + зеро = 37 яче­ек в рулет­ке. Допу­стим, мы ста­вим на крас­ное, тогда наш шанс на побе­ду — 18/37 = 48,6%. Выхо­дит, что шанс про­иг­рать у нас выше — 51,4%. Раз­ни­ца — 2,8%. 

Если при каж­дой став­ке мы ста­вим тыся­чу руб­лей, то такая раз­ни­ца в шан­сах даёт нам отри­ца­тель­ное мате­ма­ти­че­ское ожи­да­ние в 28 руб­лей не в нашу поль­зу. Это зна­чит, что в сред­нем при каж­дой став­ке мы теря­ем 28 руб­лей с каж­дой тыся­чи.

Инте­рес­но то, что теря­ем мы их не каж­дый раз: нет тако­го, что после каж­дой став­ки кто-то залез нам в кар­ман и достал отту­да 28 руб­лей. Но если какая-то мас­са людей сде­ла­ет какую-то мас­су ста­вок, то в ито­ге, по сум­ме денег, кото­рая у них оста­нет­ся на руках, они уви­дят убы­ток 2,8%. Но так как они не будут счи­тать день­ги друг дру­га, они это­го не узна­ют. 

Кази­но зара­ба­ты­ва­ют имен­но за счёт зеро, кото­рое созда­ёт отри­ца­тель­ное мато­жи­да­ние для игро­ка. Если в рулет­ке сек­то­ров зеро два, это в два раза уве­ли­чи­ва­ет мато­жи­да­ние в поль­зу кази­но. 

👉 Что­бы зара­ба­ты­вать, кази­но не нуж­но мух­ле­вать, заря­жать рулет­ку, изго­тав­ли­вать намаг­ни­чен­ные шари­ки и т. д. Доста­точ­но про­сто иметь один шаль­ной сек­тор, кото­рый созда­ёт отри­ца­тель­ное мато­жи­да­ние. 

Ставка на число

Для ясно­сти рас­смот­рим ещё один вари­ант ста­вок, когда игрок ста­вит на кон­крет­ное чис­ло или даже на зеро и при выиг­ры­ше полу­ча­ет в 35 раз боль­ше, чем поста­вил. 

Ско­рее все­го, вы уже види­те, в чём тут под­вох: став­ка боль­ше в 35 раз, а сек­то­ров — как мини­мум 37. Это зна­чит, что при став­ке в тыся­чу руб­лей мато­жи­да­ние будет рав­но 35/37 × 1000 руб­лей = 945 руб­лей. Выхо­дит, в этом слу­чае игрок теря­ет даже боль­ше, чем про­сто при выбо­ре цве­та — 55 руб­лей про­тив 28.

👉 Если играть в рулет­ку дол­го, то из-за отри­ца­тель­но­го мато­жи­да­ния игрок посте­пен­но будет терять день­ги, пока они не закон­чат­ся. Чем доль­ше игра­ет, тем боль­ше поте­ря­ет.

Но кто-то же иногда выигрывает?

Выиг­ры­ши в кази­но быва­ют, но это слу­чай­ные собы­тия, кото­рые невоз­мож­но гаран­ти­ро­ван­но повто­рить. Напри­мер, мож­но поста­вить боль­шую сум­му на чис­ло и слу­чай­но выиг­рать в 35 раз боль­ше и уйти. Имен­но в надеж­де на такой слу­чай люди и ходят в кази­но. 

Но при менее круп­ных выиг­ры­шах люди хотят уве­ли­чить при­быль, и в погоне за сле­ду­ю­щей уда­чей теря­ют на став­ках все день­ги, вклю­чая выиг­ран­ные. А всё пото­му, что чем боль­ше ста­вок дела­ет игрок, тем силь­нее рабо­та­ет мато­жи­да­ние в поль­зу кази­но и тем быст­рее он про­иг­ра­ет всё, с чем при­шёл.

А вот кази­но зара­ба­ты­ва­ет все­гда, пока в его зале мно­го людей. Мно­го людей — мно­го ста­вок. При отри­ца­тель­ном мато­жи­да­нии кази­но зара­ба­ты­ва­ет пред­ска­зу­е­мо и все­гда, а его кли­ен­ты — слу­чай­ным обра­зом. 

Вспомнилась сцена из «Волка с Уолл-стрит»

В нача­ле филь­ма герой Ди Каприо сидит в ресто­ране с геро­ем Мак­ко­на­хи, ста­рым про­жжё­ным бро­ке­ром. И Мак­ко­на­хи гово­рит Дика­прио что-то в таком духе: «Наши кли­ен­ты поку­па­ют цен­ные бума­ги и дума­ют, что они бога­чи. Но это как рулет­ка, эти бума­ги могут зав­тра же обес­це­нить­ся. А мы с тобой заби­ра­ем нашу гаран­ти­ро­ван­ную комис­сию». 

И ещё одно: матожидание и бюджет

Мато­жи­да­ние — кра­си­вая кар­тин­ка, но есть под­вох. Счи­тать резуль­та­ты сотен и тысяч игр име­ет смысл, если у вас неогра­ни­чен­ный бюд­жет. Если у вас бюд­жет огра­ни­чен, вам может его не хва­тить, что­бы вос­поль­зо­вать­ся мато­жи­да­ни­ем. 

Допу­стим, вы при­шли в един­ствен­ное в мире кази­но, кото­рое даёт вам поло­жи­тель­ное мато­жи­да­ние. Но есть огра­ни­че­ние: мини­маль­ная став­ка — 10 тысяч руб­лей. Что даль­ше:

  • Если у вас в кар­мане 100 тысяч руб­лей, то после 10 про­иг­ран­ных ста­вок под­ряд у вас закон­чат­ся день­ги. Вы даже не успе­е­те вос­поль­зо­вать­ся мато­жи­да­ни­ем. 
  • Если у вас в кар­мане мил­ли­он, вам хва­тит на 100 про­иг­ран­ных ста­вок. Сто — это на гра­ни. Может быть, вы нач­нё­те ощу­щать эффект от мато­жи­да­ния, а может и нет. 
  • Для уве­рен­но­сти вам нуж­но прий­ти в кази­но с 10 мил­ли­о­на­ми в кар­мане. Но даже в таком слу­чае при мато­жи­да­нии +2% в вашу поль­зу вы уйдё­те из кази­но с при­бы­лью 200 тысяч. Если бы вы поло­жи­ли те же 10 млн на вклад, вы бы при нынеш­них став­ках полу­чи­ли при­быль 300 тысяч.
  • И это — в несу­ще­ству­ю­щем кази­но с поло­жи­тель­ным для вас мато­жи­да­ни­ем. В при­ро­де таких нет. 

Коро­че: хра­ни­те день­ги в сбе­ре­га­тель­ных кас­сах. Кази­но все­гда зара­ба­ты­ва­ет. Мато­жи­да­ние — бес­сер­деч­ная сво­лочь. 

Так что, можно ли обыграть казино?

Выиг­рать в кази­но мож­но. Веро­ят­но­сти выиг­ры­ша здесь выше, чем в лоте­рее, но всё рав­но они исчис­ля­ют­ся еди­ни­ца­ми и доля­ми про­цен­та. Глав­ное пра­ви­ло — идти в кази­но с теми день­га­ми, кото­рые не жал­ко поте­рять, и если выиг­рал — оста­но­вить­ся. 

А вот обыг­рать кази­но нель­зя. 

Что дальше

Сде­ла­ем вир­ту­аль­ную рулет­ку с вир­ту­аль­ны­ми став­ка­ми и попро­бу­ем смо­де­ли­ро­вать игру в кази­но. Посмот­рим, как рабо­та­ет наше мато­жи­да­ние на прак­ти­ке.

Текст:
Миша Поля­нин

Редак­тор:
Мак­сим Илья­хов

Кор­рек­тор:
Ира Михе­е­ва

Иллю­стра­тор:
Даня Бер­ков­ский

Вёрст­ка:
Маша Дро­но­ва

Достав­ка:
Олег Веш­кур­цев