Есть азартная игра — рулетка. Правила такие:
- Есть круг, поделённый на 38 частей.
- Из них 18 чёрные.
- 18 — красные.
- Одно или два «зеро» зелёного цвета.
- Игрок ставит деньги на что-то из этого круга.
- Крупье запускает шарик. Шарик крутится по рулетке и выпадает на одно из полей.
- Если игрок угадал, куда упадёт шарик, он забирает свою ставку и сколько-то денег сверху.
- Если не угадал, его ставка уходит в казино.
Комбинаций ставок очень много, поэтому мы рассмотрим самую популярную ставку на красное или чёрное. Все остальные виды ставок и их результаты считаются по этой же схеме.
Если игрок ставит на цвет — красное или чёрное, — то получает назад удвоенную сумму ставки. Если ставит на конкретное число — получает в 35 раз больше, чем поставил.
Кажется, что с такими выплатами можно постоянно оказываться в плюсе: ведь достаточно угадать цвет, а он выпадает почти в половине случаев. Но всё наоборот: гораздо чаще люди проигрывают, чем выигрывают. Давайте разберёмся, почему так происходит.
🤔 Такое уже было
Мы уже говорили про математическое ожидание, когда решали задачу про футболиста. Вкратце так:
- Мы рассматриваем какие-то вероятные события в будущем.
- Вероятность этих событий описывается числом. Например, 1 — вероятность 100%, событие точно произойдёт. 0,5 — событие происходит в среднем в половине случаев.
- Если событие связано с каким-то выигрышем или проигрышем, мы используем несложную математику, чтобы оценить прибыльность той или иной игры.
- Вот это число, которое описывает прибыльность, — называется математическим ожиданием.
Теперь разберёмся чуть глубже.
Вероятность событий
Допустим, мы кидаем обычный игральный кубик с числами от 1 до 6. Вероятность выпадения единицы — ⅙, потому что все стороны кубика одинаковые и выпадают случайным образом.
Это можно представить в виде простой математики:
👉 Если у нас есть несколько равновозможных и одинаковых событий, то вероятность наступления любого из них равна 1/n, где n — количество таких событий.
Математическое ожидание
Если взять строгое определение и написать его простыми словами, получится так:
Математическое ожидание — это когда мы складываем произведения вероятностей каждого события на их результат.
Это значит, что математическое ожидание — это усреднённый результат, который мы получим при каждой попытке сыграть в игру. Чем больше будет таких попыток, тем ближе наш результат к математическому ожиданию.
Поясним на примере с игральным кубиком.
Мы знаем, что вероятность выпадения каждой грани — ⅙, а числа на кубике идут от 1 до 6. Мы выбросили в первый раз: выпала 6. Второй раз — 1. Потом 4. Потом 2. Потом 5. И так далее Можно ли предугадать, какой будет средний результат после сотни-другой игр?
Оказывается, можно. Зная только вероятность и число очков на каждой стороне кубика, мы можем заранее сказать, каков будет средний результат выбрасывания этого кубика, если бросать его достаточно долго. Это считается по формуле:
( ⅙ × 1) + ( ⅙ × 2) + ( ⅙ × 3) + ( ⅙ × 4) + ( ⅙ × 5) + ( ⅙ × 6) = 21/6 = 3,5
Чем больше раз мы кинем кубик, тем ближе к этому числу будет наше среднее значение.
👉 Получается, что математическое ожидание показывает, какой результат мы получим в среднем, если будем играть в игру достаточно долго.
Бросаем кубик за деньги
Знание математического ожидания может помочь нам принять правильное решение во всевозможных азартных играх, спорах и финансовых делах.
Представьте такую игру: вам предлагают бросить игральный кубик и получить столько рублей, сколько выпало на кубике. Цена одного броска — три рубля. Стоит играть в такую игру или нет?
С точки зрения матожидания — да, стоит, и вот почему:
- Мы знаем, что матожидание при каждом броске кубика — 3,5. В нашей игре это значит, что средний выигрыш за бросок после условных 1000 бросков будет 3,5 рубля.
- Так как матожидание выше, чем стоимость одного броска, то нам нужно не просто соглашаться на такую игру, а играть в эту игру как можно дольше, чтобы со временем выйти на средние значения прибыли 0,5 рубля за бросок.
Можно кинуть кубик 10 раз подряд так, что на нём выпадут только 1, 2 или 3 — и тогда мы как будто в минусе. Но если мы будем играть в эту игру достаточно долго, мы будем в выигрыше.
👉 Главное, что нужно запомнить: математическое ожидание не гарантирует, что мы получим именно этот результат с первой попытки. Может, и с десятой не получим. Но если мы будем продолжать эти попытки достаточно долго, то вот тогда мы точно приблизимся к нужному результату.
❌ Только для честных
Матожидание имеет смысл обсуждать, только если мы знаем, что события действительно происходят случайным образом. Если против нас играет шулер с несбалансированным кубиком, то какие-то числа будут выпадать на нём чаще, а другие — реже, и тогда математика намного сложнее, а всё написанное выше и далее неприменимо.
Матожидание и рулетка
Теперь, когда мы знаем теорию, то можем посчитать матожидание для игры в рулетку и ставок на ней.
Многие думают, что если ставить на красное или на чёрное, то шансы выиграть или проиграть равные — 50 на 50. Но это не так. Всё дело в зеро — оно создаёт отрицательное математическое ожидание для игрока, и проиграть получается проще, чем выиграть. Сейчас внимательно следите за цифрами.
Если у нас одно зеро, то всего получается 18 чёрных + 18 красных + зеро = 37 ячеек в рулетке. Допустим, мы ставим на красное, тогда наш шанс на победу — 18/37 = 48,6%. Выходит, что шанс проиграть у нас выше — 51,4%. Разница — 2,8%.
Если при каждой ставке мы ставим тысячу рублей, то такая разница в шансах даёт нам отрицательное математическое ожидание в 28 рублей не в нашу пользу. Это значит, что в среднем при каждой ставке мы теряем 28 рублей с каждой тысячи.
Интересно то, что теряем мы их не каждый раз: нет такого, что после каждой ставки кто-то залез нам в карман и достал оттуда 28 рублей. Но если какая-то масса людей сделает какую-то массу ставок, то в итоге, по сумме денег, которая у них останется на руках, они увидят убыток 2,8%. Но так как они не будут считать деньги друг друга, они этого не узнают.
Казино зарабатывают именно за счёт зеро, которое создаёт отрицательное матожидание для игрока. Если в рулетке секторов зеро два, это в два раза увеличивает матожидание в пользу казино.
👉 Чтобы зарабатывать, казино не нужно мухлевать, заряжать рулетку, изготавливать намагниченные шарики и т. д. Достаточно просто иметь один шальной сектор, который создаёт отрицательное матожидание.
Ставка на число
Для ясности рассмотрим ещё один вариант ставок, когда игрок ставит на конкретное число или даже на зеро и при выигрыше получает в 35 раз больше, чем поставил.
Скорее всего, вы уже видите, в чём тут подвох: ставка больше в 35 раз, а секторов — как минимум 37. Это значит, что при ставке в тысячу рублей матожидание будет равно 35/37 × 1000 рублей = 945 рублей. Выходит, в этом случае игрок теряет даже больше, чем просто при выборе цвета — 55 рублей против 28.
👉 Если играть в рулетку долго, то из-за отрицательного матожидания игрок постепенно будет терять деньги, пока они не закончатся. Чем дольше играет, тем больше потеряет.
Но кто-то же иногда выигрывает?
Выигрыши в казино бывают, но это случайные события, которые невозможно гарантированно повторить. Например, можно поставить большую сумму на число и случайно выиграть в 35 раз больше и уйти. Именно в надежде на такой случай люди и ходят в казино.
Но при менее крупных выигрышах люди хотят увеличить прибыль, и в погоне за следующей удачей теряют на ставках все деньги, включая выигранные. А всё потому, что чем больше ставок делает игрок, тем сильнее работает матожидание в пользу казино и тем быстрее он проиграет всё, с чем пришёл.
А вот казино зарабатывает всегда, пока в его зале много людей. Много людей — много ставок. При отрицательном матожидании казино зарабатывает предсказуемо и всегда, а его клиенты — случайным образом.
Вспомнилась сцена из «Волка с Уолл-стрит»
В начале фильма герой Ди Каприо сидит в ресторане с героем Макконахи, старым прожжёным брокером. И Макконахи говорит Дикаприо что-то в таком духе: «Наши клиенты покупают ценные бумаги и думают, что они богачи. Но это как рулетка, эти бумаги могут завтра же обесцениться. А мы с тобой забираем нашу гарантированную комиссию».
И ещё одно: матожидание и бюджет
Матожидание — красивая картинка, но есть подвох. Считать результаты сотен и тысяч игр имеет смысл, если у вас неограниченный бюджет. Если у вас бюджет ограничен, вам может его не хватить, чтобы воспользоваться матожиданием.
Допустим, вы пришли в единственное в мире казино, которое даёт вам положительное матожидание. Но есть ограничение: минимальная ставка — 10 тысяч рублей. Что дальше:
- Если у вас в кармане 100 тысяч рублей, то после 10 проигранных ставок подряд у вас закончатся деньги. Или, что более вероятно, вы успеете немножко воспользоваться матожиданием, и сыграете около 50 игр, но, в итоге, всё равно проиграете.
- Если у вас в кармане миллион, вам хватит на 100 проигранных ставок подряд. Сто — это уже более весомо. Вы начнёте ощущать эффект от матожидания, и, возможно, после 1000 игр будете в некотором плюсе. Но если будете продолжать играть, то после, примерно, 3000 игр, вы тоже всё проиграете. Но зато играть будете намного дольше, чем в первом случае.
- Для уверенности вам нужно прийти в казино с 10 миллионами в кармане. Но даже в таком случае при матожидании +2% в вашу пользу, после 1000 игр вы уйдёте из казино с прибылью примерно в 300 тысяч. Если бы вы положили те же 10 млн на вклад, вы бы при нынешних ставках получили те же 300 тысяч, но с меньшим риском.
- И это — в несуществующем казино с положительным для вас матожиданием. В природе таких нет.
Короче: храните деньги в сберегательных кассах. Казино всегда зарабатывает. Матожидание — бессердечная сволочь.
Так что, можно ли обыграть казино?
Выиграть в казино можно. Вероятности выигрыша здесь выше, чем в лотерее, но всё равно они исчисляются единицами и долями процента. Главное правило — идти в казино с теми деньгами, которые не жалко потерять, и если выиграл — остановиться.
А вот обыграть казино нельзя.
Что дальше
Сделаем виртуальную рулетку с виртуальными ставками и попробуем смоделировать игру в казино. Посмотрим, как работает наше матожидание на практике.
