Это текст про математику и компьютеры. Если тема интересна, посмотрите также на математический тренажёр Практикума — он бесплатный и интерактивный.
А сейчас — про синусы.
Что такое синус и зачем он нужен?
Вульгарное объяснение: синус — это математическая коробка, в которую засовывают любое число, а она в ответ выдаёт числа от −1 до 1. Если эти числа выстроить подряд на некой оси, то получится кривая вот такого вида:
Как читать эту кривую: если затолкать в коробку «sin» число, примерно равное 1,57, то коробка выдаст число, близкое к единице. Если затолкать число 2, на выходе будет примерно 0,909. Если затолкать примерно 3,14 — вернёт примерно 0. Синус от 4,712 даст примерно −0,999. И так дальше: число может быть сколько угодно большим, а синус всегда будет возвращать какие-то дробные значения от −1 до 1.
Это число взято из тригонометрии — то есть из науки, которая занимается углами и сторонами треугольника. В частности, синус описывает отношение сторон прямоугольного треугольника: насколько один из катетов (короткая сторона треугольника) короче, чем гипотенуза (длинная сторона треугольника). Но чаще всего мы знаем не длины сторон, а угол между ними, поэтому в синусы всегда запихивают значения углов.
Грубо говоря, вы говорите коробке: «Коробка, у меня тут прямоугольный треугольник. Я смотрю на его острый угол, он равен 30º. Что ты мне на это скажешь»? А коробка отвечает: «Если у тебя угол 30º, то короткая сторона твоего треугольника вдвое короче, чем длинная гипотенуза. Так что sin(30º) = ½».
Это число нужно много где в математике и компьютерах. Например, без синуса невозможно соединить две точки прямой линией на плоскости. Люди это делают без труда с помощью линейки, а компьютеру нужно очень чётко считать, куда поставить пиксель, и для этого нужен синус.
Помимо синуса есть ещё три аналогичные функции — косинус, тангенс и котангенс. Они такие же по принципу работы, но описывают отношения других сторон.
Во многих языках программирования есть встроенная команда нахождения синуса угла — sin(). Внутри этой функции зашита какая-то логика для нахождения этого числа.
Чаще всего, когда не нужна высокая точность, компьютер берёт значения синуса из готовых таблиц — он находит там нужный угол и возвращает значение, ничего не вычисляя. Это быстро и достаточно точно для бытовых вычислений. Вы наверняка использовали его в школе, когда считали синусы по таблице Брадиса.
Но когда нужна высокая точность вычислений (например, 20 знаков после запятой), то синусы и другие тригонометрические функции высчитывают каждый раз с нуля. Для этого используют много разных алгоритмов, и самый простой из них — использование рядов Тейлора.
Что такое ряд Тейлора
Брук Тейлор — это английский математик из 17-го века, в честь которого назвали формулу, связывающую значение функции и значение всех её производных в выбранной точке. Если сильно упростить и перевести на понятный язык, то формула будет звучать так:
Представим, что значение функции, например, синуса — это круг, заполненный на 100%. Производная функции в этой точке — это часть круга:
Есть производные первого порядка в этой точке, второго, третьего и так до бесконечности. Каждая производная следующего порядка добавляет в круг сектор поменьше:
Если сложить все производные до бесконечности, то получим полный круг — это и будет значение синуса:
В общем виде ряд Тейлора функции выглядит так:
Для каждой функции ряд Тейлора выглядит по-своему. Для синуса он выглядит так:
Выглядит сложно. Но если разложить эту формулу сумму в понятный вид, она будет выглядеть так:
Восклицательный знак — это факториал. Это просто произведение всех целых чисел до этого числа. Например: 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120.
Получается, что компьютеру для нахождения синуса достаточно использовать умножение — и для факториала, и для возведения в степень. Зная это, можно написать простой алгоритм.
Точность расчётов
Особенность ряда Тейлора в том, что это бесконечный ряд — а значит, и вычисления тоже придётся делать бесконечно. Чтобы обойти это ограничение, используют погрешность — с какой точностью нам нужно посчитать значение формулы. Для этого делают так:
- Определяем точность, например 7 знаков после запятой.
- Минимальное число из 7 знаков после запятой — это 0,0000001. Это и будет наша погрешность.
- Считаем очередное слагаемое ряда Тейлора.
- Если это слагаемое меньше нашей погрешности — прибавляем и останавливаемся, потому что мы достигли нужного результата. Если не меньше — продолжаем.
С таким подходом можно найти синус любого угла с любой точностью, главное, чтобы у компьютера хватило памяти на все эти вычисления.
Радианы
Чтобы использовать ряд Тейлора для вычисления синуса, нам нужно перевести градусы в радианы. Радиан — это мера измерения углов в тригонометрии, которая привязана к числу π.
Радианы с углами связаны так:
1 радиан = 180/π градусов
Получается, что для того, чтобы перевести углы в градусах в радианы, нам нужно градусы разделить на 180 и умножить на π.
Теперь мы знаем всё, чтобы написать код вычисления синуса на Python
Пишем код
Логика алгоритма будет такая:
- спрашиваем градусы;
- спрашиваем погрешность, с которой нужно вычислить синус;
- в цикле считаем очередное слагаемое ряда Тейлора и прибавляем его к общей сумме;
- если очередное слагаемое меньше погрешности — останавливаемся и выводим результат.
Читайте комментарии, чтобы разобраться в коде, а потом запустите его у себя, чтобы проверить результаты:
# импортируем математическую библиотеку, чтобы взять оттуда модуль и число пи
import math
# объявляем свою функцию, которая посчитает синус
def computerSinus (x,n):
# переводим градусы в радианы
x = x/180*math.pi
# для проверки выведем результат, который посчитает компьютер
print(str(math.sin(x)) + " — результат вычислений встроенного синуса")
# сразу берём x как первое слагаемое ряда Тейлора
q = x
# сумма ряда на старте равна нулю
s = 0
# порядковый номер слагаемого в ряду Тейлора
i = 1
# пока очередное слагаемое больше погрешности — цикл работает
while abs(q) > n:
# добавляем слагаемое к общей сумме
s = s + q
# вычисляем следующее слагаемое
q = q* (-1) * (x*x) / ((2*i+1) * (2*i))
# увеличиваем порядковый номер слагаемого в ряду Тейлора
i = i+1
# возвращаем сумму как результат работы функции
return s
# запрашиваем стартовые значения
x = float(input("Введите градусы: "))
n = float(input("Введите погрешность: "))
# выводим результат, который мы посчитали сами
print(str(computerSinus(x,n)) + " — синус, который мы посчитали")
Что дальше
В следующий раз попробуем сделать то же самое с квадратным корнем — посмотрим, как компьютер сможет посчитать его без таблиц.
