Как с помощью спичек найти число пи
medium

Как с помощью спичек найти число пи

Для этого достаточно их рассыпать, а потом посчитать

Любите математику?
Это для вас
Попробуйте бесплатный тренажёр «Основы математики для цифровых профессий».
Попробовать бесплатно
Любите математику? <br data-lazy-src="https://thecode.media/wp-content/uploads/2023/07/b54-mob.png"><noscript><img width="537" height="164" class=

Мы как-то писали о методе Монте-Карло: он изучает случайные процессы, которые происходят в разных системах, и на основании результатов делает различные выводы. Например, с помощью метода Монте-Карло навигатор моментально находит кратчайший путь между городами, пусть и с небольшой погрешностью. 

Одно из применений этого метода, когда он только появился, было нахождение числа пи. Но есть и другие способы, которые также позволяют находить число пи и при этом могут использоваться в самых разных областях жизни. Один из таких способов — задача Бюффона о бросании иглы. 

В чём идея

В 18 веке французский математик Карл Бюффон открыт новый метод вычисления числа пи. В основе метода — бросание иглы случайным образом на ткань. Общую идею можно рассказать так:

  1. Берём ткань и рисуем на ней параллельные линии на расстоянии X друг от друга.
  2. Берём иглу длиной L, но так, чтобы её длина была меньше или равна расстоянию между линиями, то есть L <= X.
  3. Случайным образом бросаем иглу на ткань и смотрим, попала ли игла на одну из линий или нет.
  4. Считаем, сколько раз мы бросили иглу и сколько раз она попала на одну из линий.
  5. Отношение этих двух чисел даст нам число, похожее на пи. Чем больше бросков — тем результат будет ближе к пи.

Как с помощью спичек найти число пи

Бюффон доказал, что вероятность того, что игла попадёт на одну из линий, равна 2L/Xπ. Чтобы улучшить результат, нужно взять иглу с длиной X = L/2, то есть в два раза короче расстояния между линиями. Если так сделать, то вероятность броска иглы на линию становится равна 1/π.

Как это повторить дома

Самый простой способ повторить эксперимент Бюффона выглядит так:

  1. Возьмите коробок спичек и измерьте длину одной спички — пусть это будет L.
  2. На листе бумаги нарисуйте параллельные линии с расстоянием 2L между собой.
  3. Высыпьте спички из коробка и распределите их равномерно на листе.
  4. Забирайте спички по одной с листа, откладывая в отдельную кучку те, что попали на линию.
  5. Посчитайте, сколько получилось спичек в отдельной кучке и сколько их было всего.
  6. Разделите большее число на меньшее — вы получите число, близкое к π (3,1415926…).
  7. Можно взять лист А3 или А2 и несколько коробков — так результат будет точнее.

Как с помощью спичек найти число пи

У нас две гипотезы. 

Одна гипотеза — мы находимся в матрице, но на слабом сервере, и нам недоступны алгоритмы подлинных случайных чисел. Чтобы оптимизировать вычисления, программисты оптимизировали алгоритм случайности с помощью числа пи. Вот мы и видим этот алгоритм в работе.

Другая гипотеза — число пи связано с тем, как устроены естественные природные процессы, в том числе любой хаос. (Так же, как нормальное распределение.) Можно представить так: мы используем десятичную систему счисления, потому что у нас 10 пальцев на руках. А у природы и хаоса нет 10 пальцев, у них свои встроенные величины. И если привести природные величины к нашим десятичным, получится число пи. 

Вот вам аналогия. В США и Великобритании для измерения расстояния используют мили, а не километры. Миля получилась от римского «тысяча шагов». Шаг — это буквально шаг римского солдата длиной примерно полтора метра. То есть буквально есть ступня римского солдата длиной 29,6 см (в России это размер 44,5). Пять таких ступней подряд — это шаг. Тысяча шагов — это миля. 

А в Европе мы всё измеряем не милями, а километрами. Километр — это 1000 метров. Почему 1000? Просто так договорились. А что такое метр? Это одна десятимиллионная расстояния от Северного полюса до экватора. А километр, получается, это одна десятитысячная этого расстояния. 

Как связан размер шага римского легионера и расстояние от полюса до экватора? А вот так: одна миля — это примерно 1,6 километра; а один фут — это примерно 0,3 метра. Почему такое соотношение? По кочану. Просто есть разные системы измерения, основанные на разных физических величинах.

Код, который имитирует разбрасывание спичек

Если дома нет спичек и бумаги, вот код, который можно запустить у себя на компьютере и проверить теорию на практике. Логика кода точно такая: случайным образом выбираем координаты спичек и смотрим, пересекают они линию или нет. 

Для работы кода нужен Python, если не знаете, как его установить, вот статья в помощь:

# подключаем библиотеку для обработки данных
import numpy as np
# устанавливаем параметры случайного значения
np.random.seed(4)

# расстояние между линиями и высота иглы
width = 1.0 
needle = 0.5

# количество пересечений и промахов
num_hits = 0
num_misses = 0

# наибольшие и наименьшие возможные координаты концов иглы
x_lo = 0.0; x_hi = 3.0
y_lo = 0.0; y_hi = 4.0

print("Начинаем симуляцию")
# запускаем цикл
for i in range(10000):
  # выбираем начальные координаты иглы   
  x = (x_hi - x_lo) * np.random.random() + x_lo
  y = (y_hi - y_lo) * np.random.random() + y_lo
  
  # выбираем угол поворота
  angle = np.radians(360.0 * np.random.random()) 

  # конечные координаты иглы  
  xx = x + needle * np.cos(angle)   
  yy = y + needle * np.sin(angle)
  
  # меняем координаты местами, если игла развернулась
  if xx < x:
    (x, xx) = (xx, x)
    (y, yy) = (yy, y)
  # смотрим, есть ли пересечение, и если да — увеличиваем счётчик пересечений
  if (x < 0.0 and xx > 0.0) or (x < 1.0 and xx > 1.0) or (x < 2.0 and xx > 2.0) or (x < 3.0 and xx > 3.0):
        num_hits += 1
  # увеличиваем счётчик промахов на единицу
  else:
    num_misses += 1

# считаем соотношение попаданий и бросков
pr = (num_hits * 1.0) / (num_hits + num_misses)
# считаем число пи
pi_est = (2.0 * needle) / (pr * width)

# выводим результаты
print("Длина иглы: %0.1f " % needle)
print("Расстояние между линиями: %0.1f " % width)
print("Количество пересечений: " + str(num_hits))
print("Количество промахов: " + str(num_misses))
print("Рассчитанное значение числа Пи: %0.4f" % pi_est)

Зачем это было нужно

Так раньше учёные и математики изучали связь между случайными событиями и известными им числами — есть связь или нет. С помощью таких исследований они пытались найти закономерности в разных областях жизни и смотрели, можно ли это как-то применить в обычной жизни. 

Компьютеров тогда не было, поэтому часто единственный способ проверить теорию на практике — это подбрасывать много раз иглы и смотреть, пересекают они линии или нет.

Где это применяется сейчас

В наше время значение числа пи можно узнать с точностью до любого знака после запятой — уже есть алгоритмы, которые позволяют это сделать. Но алгоритм Бюффона применяется сейчас не для этого, а чтобы определить вероятности и параметры для разных случайных процессов.

Представим, что мы хотим провести серию экспериментов в космосе в условиях невесомости. Для этого нам нужно, чтобы во время эксперимента не работали корректировочные двигатели — те, которые стабилизируют космический аппарат на его орбите. Если мы будем знать длительность одного эксперимента (длину иглы) и общее количество экспериментов, которые нам нужно провести, то можем рассчитать вероятность включения двигателей во время эксперимента (расстояние между линиями) и количество испорченных серий. Это значит, что мы сможем скорректировать ход эксперимента и построить его так, чтобы получить нужный нам объём результатов с учётом испорченных.

Что дальше

В следующий раз сделаем не просто код в консоли, а нарисуем красивую визуализацию с разбросанными спичками на странице. Подпишитесь, чтобы не пропустить новый проект.

Текст:

Михаил Полянин

Редактор:

Максим Ильяхов

Художник:

Алексей Сухов

Корректор:

Ирина Михеева

Вёрстка:

Кирилл Климентьев

Соцсети:

Аня Соколова

Любите математику? Это для вас
Попробуйте бесплатный тренажер «Основы математики для цифровых профессий». Это все необходимые знания, чтобы закрыть пробелы в математике для айтишника.
Попробовать бесплатно
Любите математику? Это для вас Любите математику? Это для вас Любите математику? Это для вас Любите математику? Это для вас
Получите ИТ-профессию
В «Яндекс Практикуме» можно стать разработчиком, тестировщиком, аналитиком и менеджером цифровых продуктов. Первая часть обучения всегда бесплатная, чтобы попробовать и найти то, что вам по душе. Дальше — программы трудоустройства.
Начать карьеру в ИТ
Получите ИТ-профессию Получите ИТ-профессию Получите ИТ-профессию Получите ИТ-профессию
Еще по теме
medium