Есть карточки, на одной стороне которых написаны буква, а на другой стороне — цифра. У таких карточек есть только одно правило: у каждой карты, на которой написана буква D, на обратной стороне должна быть цифра 3.
На стол выложили четыре карточки. Какие карточки нужно перевернуть, чтобы убедиться, что это правило работает?
Самый частый ответ — перевернуть карточку D, чтобы посмотреть, что на обратной стороне. Но это неправильный ответ, потому что этого недостаточно.
Второй по популярности ответ — перевернуть все карточки, чтобы убедиться, что у карты K с обратной стороны нет тройки, а у карт с цифрами — буквы D. Но это тоже неверно.
На самом деле нам достаточно перевернуть первую и последнюю карточки — D и 7. Всё дело — в математической логике.
Карта D
Правило гласит: у каждой карты, на которой написана буква D, на обратной стороне должна быть цифра 3. На языке математической логики это записывается так:
D → 3
Это называется импликация, а программистам эта конструкция знакома как условный оператор «если …, то…». Такая запись означает, что из D следует 3, или, проще говоря, если D, то 3. В математике это выглядит так:
Это значит, что нам точно нужно перевернуть карточку D, чтобы посмотреть, выполняется ли правило D → 3. Если там тройка, то правило выполняется, если что-то другое — то не выполняется:
Карта K
У нас есть правило: D → 3. Но про карту K это правило ничего не говорит:
K → ?
Так как нам неизвестно, что следует из K, то могут быть три ситуации:
- Все карточки с K содержат цифру 3.
- Некоторые карточки с K содержат цифру 3.
- Ни одна карточка с K не содержит цифру 3.
Получается, что если мы переворачиваем K и видим там цифру 3, то это не противоречит нашему правилу D → 3. И если мы там видим что-то другое, то это тоже не противоречит правилу, потому что нам не известно, что следует из K: K → ?
Это значит, что переворачивать карту К, чтобы проверить правило, не нужно.
Карта 3
Это самая хитрая карта в этом наборе. Мы знаем, что если D, то 3, но если 3 — то что? Импликация работает только в одну сторону, и в ней нет такого, что если D → 3, то 3 → D. Получается, что у нас работает такое правило
3 → ?, где за знаком вопроса может скрываться что угодно.
Если мы переворачиваем 3 и видим букву D, то правило выполняется: у всех карт с D на обратной стороне должно быть 3. Но если мы переворачиваем 3 и видим, например, А, то это не противоречит нашему правилу D → 3.
Выходит, что карточку 3 переворачивать тоже не нужно.
Карта 7
С этой картой тоже интересно. У нас есть импликация D → 3. Но у нас не 3, а другая цифра, и ключевое здесь — частица НЕ. В математической логике это называется отрицание, и «НЕ 3» — это любое другое число кроме трёх, например, 7.
Чтобы получить «НЕ 3», нужно применить отрицание ко всей импликации. По правилам матлогики в этом случае к обеим частям добавляется НЕ и части меняются местами:
Было: D → 3
Стало: НЕ 3 → НЕ D
Выражение НЕ 3 → НЕ D означает, что если у нас не тройка, то на обороте должна быть не буква D. Получается, что нам нужно в этом убедиться, а значит — перевернуть эту карту и посмотреть, что написано на обратной стороне. Если там любая другая буква кроме D — всё в порядке, правило НЕ 3 → НЕ D работает. Но если там будет D, то это правило не сработает — как и наше основное правило D → 3.
Вывод: карту 7 нужно перевернуть:
