Сегодня посмотрим на практике, как работает закон нормального распределения. Если пропустили первую часть с теорией, вот короткая версия:
- закон нормального распределения — это статистический закон, который описывает, как часто различные значения случайной величины встречаются в наборе данных;
- чаще всего результат нормального распределения представляют в виде графика;
- по этому графику видно, какие вещи или события случаются чаще, а какие — реже;
- ещё по этому графику можно понять, с какой вероятностью случится конкретное событие;
- закон нормального распределения работает почти во всех областях жизни, где происходят случайные события.
А вот как выглядит график нормального распределения:
Что делаем
Мы проверим этот закон в деле — действительно ли события распределяются именно таким образом и что влияет на форму графика. Для этого мы будем использовать игральные кубики — те, на которых стоят точки или цифры от 1 до 6.
В теории, если у нас будет два кубика, то вот какие есть варианты их совместного выпадения:
Теперь, если мы сложим значения каждой пары и распределим их по количеству таких значений, то получим такую картину:
Здесь единицу не даёт ни одна сумма, двойку можно получить только парой 1—1, тройку — уже двумя парами 1—2 и 2—1 и так далее. Это немного похоже на кривую Гаусса, но слишком ровную, без явного пика и спадов.
Мы будем подкидывать кубики много раз, складывать их значения и строить графики, чтобы посмотреть, как количество кубиков влияет на форму графика. Начнём с двух кубиков и постепенно дойдём до десяти.
Если знаете английский, посмотрите это видео — в нём будет всё то же самое, только с красивой анимацией и сложными формулами. Старт уже стоит на нужном таймкоде:
Бросаем два кубика
Логика будет такой: мы бросим кубики сто раз, на каждом броске посмотрим на сумму и в итоговом списке увеличим на единицу значение, которое соответствует сумме. Поясним на примере:
- Мы знаем, что у нас два кубика, максимум 6 на каждом, получается максимальная сумма — 12.
- Создаём пустой список с результатами, причём элементов списка будет 13 — от нулевого до двенадцатого. Это нужно, чтобы мы могли обратиться к двенадцатому элементу.
- При каждом броске кубиков считаем их сумму, например 8.
- Увеличиваем на единицу значение, которое лежит в итоговом списке в ячейке под номером 8.
- Так делаем сто раз.
- Строим график, что получилось.
При этом у нас нулевой и первый элемент итогового списка всегда будет равен нулю. Это из-за того, что два кубика не могут дать в сумме ни ноль, ни единицу. Значит, нам нужно исключить их из списка, перед тем как строить график.
Запишем это на Python. Чтобы было понятнее, прокомментировали каждую строчку кода:
# подключаем модуль для построения графиков
from matplotlib import pyplot as plt
# и модуль случайных чисел
import random
# список с результатами, на старте нулевой
result = [0] * 13
# диапазон возможных сумм
x = list(range(2, 13))
# бросаем кубик нужное число раз
for i in range(100):
# получаем значение броска каждого кубика
dice1 = random.randint(1, 6)
dice2 = random.randint(1, 6)
# складываем значения
summ = dice1 + dice2
# увеличиваем на единицу соответствующее значение списка с результатами
result[summ] += 1
# убираем нулевой и первый значения списка — в них ничего нет
result.pop(0)
result.pop(0)
# формируем график
plt.plot(x,result)
# подписываем оси
plt.ylabel('Сколько раз выпало')
plt.xlabel('Сумма бросков')
# показываем график в отдельном окне
plt.show() 
График выглядит не так, как мы ожидали — он совсем не похож на график нормального распределения. Дело в маленьком количестве бросков — результаты просто не успевают распределиться в нужных пропорциях.
Увеличим количество бросков до тысячи:
Мы увеличили количество бросков, но что, если при этом ещё увеличить количество кубиков? Давайте посмотрим на графики, где мы бросаем 3, 5 и 10 кубиков. А заодно увеличим количество бросков в 10 раз.
Три кубика
Прежде чем собирать код для трёх кубиков, исправим недочёты предыдущего скрипта. Для двух кубиков он пойдёт, но если надо больше — придётся переписать часть кода.
Прежде всего нам будет нужна переменная, которая отвечает за количество кубиков:
dice = 3
Раз у нас изменилось количество кубиков, соответственно, изменилась и минимальная, и максимальная сумма очков при каждом броске. Нижняя граница, кстати, совпадает с количеством кубиков (три кубика — минимальная сумма равна трём):
# минимальная и максимальная сумма очков при каждом броске
low = dice
high = dice * 6
Ещё нужно учесть количество кубиков при каждом броске, чтобы получить точную сумму, и удалить нужное количество нулевых элементов итогового списка. Например, при трёх кубиках нужно удалить четыре первых элемента.
Перепишем код, учитывая новые вводные:
# подключаем модуль для построения графиков
from matplotlib import pyplot as plt
# и модуль случайных чисел
import random
# количество кубиков
dice = 3
# минимальная и максимальная сумма очков при каждом броске
low = dice
high = dice * 6
# количество бросков
roll = 1000
# список с результатами, на старте нулевой
# количество элементов — на один больше максимальной суммы
result = [0] * (high + 1)
# диапазон возможных сумм
x = list(range(low, high))
# бросаем кубик нужное число раз
for i in range(roll):
# перед каждым броском общая сумма равна нулю
summ = 0
# кидаем по очереди все кубики
for i in range(dice):
# складываем значения каждого кубика
summ += random.randint(1, 6)
# увеличиваем на единицу соответствующее значение списка с результатами
result[summ] += 1
# убираем все ненужные значения списка — в них ничего нет
for i in range(dice+1):
result.pop(0)
# формируем график
plt.plot(x,result)
# подписываем оси
plt.ylabel('Сколько раз выпало')
plt.xlabel('Сумма бросков')
# показываем график в отдельном окне
plt.show()
Похоже на предыдущий график с двумя кубиками. Посмотрим, что будет при пяти и десяти кубиках.
Пять кубиков
Поставим в переменную dice значение 5. График немного сгладился, потому что вариантов суммы стало больше:
Десять кубиков
Наконец, поставим в переменную dice значение 10. Вот теперь график похож на классическую кривую Гаусса. Получается, что всё дело в количестве — чем больше данных, тем точнее работает закон распределения.
Бонус
А вот как выглядит 100 кубиков и миллион бросков:
И что в итоге
Мы на практике убедились, что закон нормального распределения работает даже в бросках кубиков. При этом чем больше кубиков и больше бросков — тем точнее работает закон. Это значит, что на небольшом количестве данных этот закон применить не получится — всё испортит слишком большая погрешность. Но если данных много, то влияние погрешности будет уже не таким большим и можно будет на основе данных делать нужные выводы.
Ещё видно, что количество бросков тоже играет роль — чем их больше, тем сильнее выделяется середина графика, где значения суммы встречаются чаще всего.
