Очень сложная задача про обруч

На собе­се­до­ва­нии двум про­грам­ми­стам зада­ли финаль­ный вопрос, кото­рый решал, берут их на рабо­ту или нет:

«Пред­ставь­те, что вы наде­ли обруч по эква­то­ру на зем­ной шар и на апель­син, а потом сня­ли их, доба­ви­ли по одно­му мет­ру к длине каж­до­го обру­ча и наде­ли обру­чи обрат­но, по цен­тру. Куда лег­че будет про­су­нуть руку — меж­ду обру­чем и Зем­лёй или апель­си­ном?»

Пер­вый про­грам­мист отве­тил, что меж­ду обру­чем и Зем­лёй, а вто­рой — что меж­ду обру­чем и апель­си­ном. Кто из них полу­чил рабо­ту?

Решение

На рабо­ту не взя­ли обо­их, и вот поче­му.

Инту­и­тив­но кажет­ся, что метр к обру­чу вокруг Зем­ли вооб­ще будет неза­ме­тен, а метр к длине обру­ча вокруг апель­си­на — это весо­мо. Это про­ис­хо­дит из-за того, что метр для апель­си­на это очень мно­го, а для Зем­ли — нет.

⚠️ Но это непра­виль­ный ответ.

Что­бы узнать раз­мер зазо­ра меж­ду пред­ме­та­ми, нам нуж­но выяс­нить, как изме­нил­ся ради­ус обру­ча (то есть рас­сто­я­ние от цен­тра пред­ме­та до края обру­ча). Если ради­ус уве­ли­чил­ся на пол­мет­ра, то и зазор будет равен полу­мет­ру и так далее. Сна­ча­ла посчи­та­ем его для Зем­ли.

Выра­зим дли­ну обру­ча, наде­то­го на Зем­лю по эква­то­ру: 2πR, где R — это ради­ус Зем­ли. Для про­сто­ты пред­ста­вим, что Зем­ля иде­аль­но круг­лая, а мы не зна­ем её ради­ус.

Пред­ста­вим, что мы доба­ви­ли метр к длине обру­ча, и теперь его ради­ус уве­ли­чил­ся. Возь­мём этот уве­ли­чен­ный ради­ус за S.

Полу­ча­ет­ся, что после добав­ле­ния мет­ра дли­на обру­ча будет рав­на 2πS. Мы зна­ем, что дли­на обру­ча уве­ли­чи­лась на метр, поэто­му:

2πR + 1 = 2πS

Оста­вим еди­ни­цу в левой части, а всё осталь­ное собе­рём в пра­вой:

1 = 2πS − 2πR

Выне­сем общий мно­жи­тель 2π:

1 = 2π(S − R)

Раз­де­лим обе части на 2π:

1 / (2π) = S − R

Вжух:

S – R = 1 / (2 × 3,14) = 0,159 мет­ра

Полу­чи­лось, что зазор меж­ду Зем­лёй и обру­чем будет почти 16 сан­ти­мет­ров — доста­точ­но, что­бы туда про­лез­ла рука.

Теперь посчи­та­ем то же самое для апель­си­на, обо­зна­чив ради­у­сы до и после за P и Q:

2πP + 1 = 2πQ

Пере­но­сим 2πP в пра­вую часть:

1 = 2πQ − 2P

Выне­сем общий мно­жи­тель 2π:

1 = 2π(Q − P)

Раз­де­лим обе части на 2π:

1 / (2π) = Q − P Q − P = 1 / (2 × 3,14) = 0,159 мет­ра

Как ни стран­но, но зазор меж­ду обру­чем и апель­си­ном будет точ­но таким же. Более того, этот зазор в 15,9 сан­ти­мет­ра будет у любо­го обру­ча и объ­ек­та, если уве­ли­чить обруч на метр, даже у тен­нис­но­го шари­ка!

Поэто­му пра­виль­ный ответ такой: зазор в обо­их слу­ча­ях будет оди­на­ко­вым, а про­су­нуть руку в этот зазор будет оди­на­ко­во лег­ко (или слож­но, смот­ря какая у вас рука).

Мы сами в шоке.