Задача имени Якубовича: три шкатулки с деньгами
vk f t

Задача имени Якубовича: три шкатулки с деньгами

Инту­и­ция обма­нет вас в этой зада­че. Попро­буй­те луч­ше тео­рию веро­ят­но­стей, это лег­ко.

Перед вами сто­ят три оди­на­ко­вых закры­тых шка­тул­ки, в одной из них лежит мно­го денег, а две дру­гих — пустые. Мож­но выбрать любую шка­тул­ку, но сра­зу откры­вать нель­зя. Затем веду­щий игры берёт одну из остав­ших­ся шка­ту­лок, откры­ва­ет и пока­зы­ва­ет, что она пустая.

Теперь у вас есть выбор: оста­вить себе ту шка­тул­ку, кото­рую вы выбра­ли с само­го нача­ла, или поме­нять её на остав­шу­ю­ся неот­кры­тую. Как луч­ше посту­пить?

Реше­ние

Отбро­сим в сто­ро­ну эмо­ции, инту­и­цию и про­чую эзо­те­ри­ку и нач­нём решать эту зада­чу как про­грам­ми­сты — дадим нашим шка­тул­кам име­на:

  • Выбран­ная — шка­тул­ка, кото­рую мы выбра­ли с само­го нача­ла;
  • Пустая — ту, кото­рую откры­ли после наше­го выбо­ра и пока­за­ли, что она пустая;
  • Неиз­вест­ная — одна из двух невы­бран­ных нами шка­ту­лок, кото­рая оста­лась закры­той, и на кото­рую мож­но поме­нять нашу.

Изна­чаль­но веро­ят­ность того, что вы выбра­ли сра­зу шка­тул­ку с день­га­ми — 33%, пото­му что в самом нача­ле у каж­дой шка­тул­ки оди­на­ко­вые шан­сы. Но теперь всё зави­сит от того, слу­чай­но ли веду­щий открыл Пустую шка­тул­ку, или знал зара­нее, что в ней ниче­го нет. Имен­но от это­го будет зави­сеть, как нуж­но посту­пить.

Если пустую шкатулку открыли случайно

Допу­стим, веду­щий игры не знал ниче­го о содер­жа­нии шка­тул­ки. То есть, откры­вая одну из невы­бран­ных, он мог открыть и шка­тул­ку с день­га­ми.

Раз это­го не про­изо­шло и никто дей­стви­тель­но зара­нее не знал, в какой из шка­ту­лок день­ги, то у них теперь рав­ные шан­сы на побе­ду: вме­сто ⅓ они ста­ли рав­ны ½. У обе­их шка­ту­лок теперь оди­на­ко­вая веро­ят­ность ока­зать­ся с день­га­ми, поэто­му менять шка­тул­ки смыс­ла нет: мате­ма­ти­че­ски это никак не уве­ли­чит ваши шан­сы. Всё, что будет даль­ше, уже эзо­те­ри­ка.

Ито­го. Если Пустую шка­тул­ку откры­ли слу­чай­но и никто не знал зара­нее, что она пустая, то вер­ная стра­те­гия будет такой: оста­вить себе Выбран­ную шка­тул­ку.

Пустую шкатулку выбрали специально

Теперь рас­смот­рим ситу­а­цию: веду­щий знал, что откры­тая шка­тул­ка ока­жет­ся пустой. Он изна­чаль­но знал, где лежат день­ги, и спе­ци­аль­но выбрал пустую шка­тул­ку, что­бы её открыть.
Это совсем дру­гая ситу­а­ция, хотя может пока­зать­ся, что она такая же, как и в пер­вом слу­чае. На самом деле нет. Там у нас появ­ля­лась новая инфор­ма­ция, пото­му что никто не знал, где лежат день­ги. Новая инфор­ма­ция заста­ви­ла пере­счи­тать шан­сы.

В этом слу­чае новой инфор­ма­ции нет, пото­му что шка­тул­ка с день­га­ми извест­на зара­нее. А раз новой инфор­ма­ции нет, то у Выбран­ной шка­тул­ки, шан­сы на побе­ду как были ⅓, так и оста­лись. А теперь начи­на­ет­ся магия тео­рии веро­ят­но­сти: шан­сы на побе­ду у Неиз­вест­ной шка­тул­ки вырос­ли вдвое!

Дело тут вот в чём. Раз изна­чаль­но у всех шка­ту­лок шан­сы были рав­ны, то для каж­дой шка­тул­ки они состав­ля­ли ⅓. Когда нам умыш­лен­но откры­ли Пустую шка­тул­ку, то веро­ят­ность Выбран­ной шка­тул­ки не поме­ня­лась (так как новой инфор­ма­ции нет), а веро­ят­ность Неиз­вест­ной шка­тул­ки вырос­ла вдвое:

⅓, кото­рая была изна­чаль­но + ⅓, кото­рая пере­шла от Пустой шка­тул­ки к Неиз­вест­ной = ⅔.

Нет новой инфор­ма­ции — шан­сы не пере­счи­ты­ва­ют­ся, а пере­рас­пре­де­ля­ют­ся меж­ду теми шка­тул­ка­ми, содер­жи­мое кото­рых зара­нее извест­но. Раз откры­ва­ю­щий шка­тул­ки зна­ет, где день­ги, зна­чит, шан­сы пере­рас­пре­де­ля­ют­ся меж­ду ними. А у вашей шка­тул­ки как был шанс на побе­ду ⅓, так и остал­ся.

Ито­го. Если Пустую шка­тул­ку откры­ли спе­ци­аль­но, пра­виль­ная стра­те­гия будет такой: поме­нять Выбран­ную шка­тул­ку на Неиз­вест­ную. Это повы­сит ваши шан­сы на побе­ду в 2 раза.

Важ­но пони­мать, что мы гово­рим о шан­сах и веро­ят­но­стях, а не о кон­крет­ном еди­нич­ном слу­чае. Ина­че гово­ря, эта стра­те­гия будет иметь смысл, если сыг­рать мно­го игр с оди­на­ко­вы­ми усло­ви­я­ми: сто, три­ста, тыся­чу. На одной кон­крет­ной игре эффект веро­ят­но­стей не будет заме­тен. Поэто­му вме­сто азарт­ных игр мы реко­мен­ду­ем ком­мер­че­ское про­грам­ми­ро­ва­ние. 🙂

Ещё по теме