Один футболист против законов математики
vk f t

Один футболист против законов математики

Самое про­стое и понят­ное объ­яс­не­ние тео­рии веро­ят­но­стей, кото­рое вы встре­ти­те.

Пред­ставь­те, что вам пред­ло­жи­ли пари:

  1. Вы выби­ра­е­те один из двух вари­ан­тов игры с мячом.
  2. Фут­бо­лист игра­ет в пред­ло­жен­ную вам игру.
  3. Если фут­бо­лист выиг­ры­ва­ет, вы и фут­бо­лист полу­ча­е­те день­ги. Если нет — никто ниче­го не полу­ча­ет.

Пер­вый вари­ант игры — уда­рить по мячу один раз. Если мяч попа­дёт в воро­та — вы выиг­ра­ли.

Вто­рой вари­ант игры — уда­рить по мячу три раза. Если хотя бы два раза из трёх мяч попал в воро­та — вы выиг­ра­ли.

За выиг­рыш в любом вари­ан­те вам запла­тят 50 000 руб­лей. Какой вари­ант игры луч­ше выбрать и поче­му? Вы зна­е­те, что в сред­нем фут­бо­лист заби­ва­ет три мяча из пяти, но в исто­рии игро­ка быва­ло и мно­го непо­па­да­ний под­ряд.

Реше­ние

Вероятность

В таких зада­чах всё зави­сит от веро­ят­но­стей — насколь­ко воз­мож­но, что это всё про­изой­дёт. Веро­ят­ность чаще все­го изме­ря­ет­ся в про­цен­тах: чем они выше, тем веро­ят­нее слу­чит­ся нуж­ное нам собы­тие. Напри­мер, когда мы под­ки­ды­ва­ем моне­ту, веро­ят­ность того, что выпа­дет орёл — 50%. Это зна­чит, что в поло­вине слу­ча­ев дей­стви­тель­но выпа­дет орёл. А веро­ят­ность бро­сить кубик и сра­зу полу­чить 6 очков — око­ло 17% или ⅙ , пото­му что у куби­ка 6 рав­но­цен­ных гра­ней.

Давай­те обо­зна­чим сим­во­лом р веро­ят­ность того, что фут­бо­лист при любом уда­ре заби­ва­ет гол в воро­та. Полу­ча­ет­ся, в пер­вом вари­ан­те наши шан­сы полу­чить день­ги тоже рав­ны р, пото­му что фут­бо­лист дол­жен забить с пер­во­го раза. Так как веро­ят­ность — это чис­ло от 0% до 100% (это то же самое, что от 0 до 1), мы име­ем два выра­же­ния:

р — веро­ят­ность, что фут­бо­лист попа­дёт в воро­та.

(1 — р) — веро­ят­ность, что фут­бо­лист про­мах­нёт­ся.

Если мы выбра­ли первую игру с одним уда­ром, веро­ят­ность выиг­ры­ша рав­на веро­ят­но­сти попа­да­ния в воро­та, то есть р. Зная, что фут­бо­лист попа­да­ет три раза из пяти, мы можем сме­ло ска­зать: веро­ят­ность выиг­ры­ша в пер­вой игре — 60%. Непло­хая веро­ят­ность и пока всё оче­вид­но.

А что со вто­рой игрой? Сто­ит ли про­бо­вать её, если мы зна­ем веро­ят­ность побе­ды в пер­вой? Давай­те хотя бы срав­ним.

Для вто­ро­го вари­ан­та игры есть восемь раз­ных путей раз­ви­тия собы­тий — ком­би­на­ций попа­да­ний и непо­па­да­ний в воро­та. Давай­те зане­сём их в таб­ли­цу, и если в какой-то попыт­ке мы попа­ли в воро­та — поста­вим на этом месте галоч­ку. Рядом запи­шем зна­че­ния веро­ят­но­стей этих собы­тий. Веро­ят­но­сти пере­мно­жа­ют­ся:

Пер­вый удар Вто­рой Тре­тий Веро­ят­ность Выиг­ра­ли?
(1 - p) × (1 - p) × (1 - p) Нет
(1 - p) × (1 - p) × р Нет
(1 - p) × p × (1 - p) Нет
(1 - p) × р × р Да
p × (1 - p) × (1 - p) Нет
p × (1 - p) × р Да
p × p × (1 - p) Да
p × p × p Да

В таб­ли­це при­ве­де­ны все вари­ан­ты раз­ви­тия собы­тий, ника­ких дру­гих быть не может. Судя по таб­ли­це, из вось­ми вари­ан­тов раз­ви­тия собы­тий мы выиг­ры­ва­ем в четы­рёх. Рас­смот­рим вари­ан­ты выиг­ры­ша.

В трёх выиг­рыш­ных слу­ча­ях фут­бо­лист про­ма­хи­ва­ет­ся один раз. Веро­ят­но­сти у этих трёх сце­на­ри­ев:

(1 — p) × р × р

p × (1 — p) × р

p × p × (1 — p)

Заме­ти­ли, что все эти фор­му­лы мож­но при­ве­сти к одно­му виду?

p × p × (1 — p)

А эта фор­му­ла, в свою оче­редь, при­во­дит­ся к тако­му виду:

p × p × (1 — p)

p² × (1 — p)

p² — p³

В чет­вёр­том при­зо­вом слу­чае вы забьё­те мяч три раза под­ряд, и веро­ят­ность это­го такая:

p × p × p = p³

Что­бы узнать общую веро­ят­ность выиг­ры­ша, нуж­но сло­жить пер­вые три и чет­вёр­тую. Для это­го доста­точ­но мате­ма­ти­ки седь­мо­го клас­са. Сде­ла­ем это поша­го­во:

(p² — p³) × 3 + p³

3p² — 3p³ + p³

3p² — 2p³ — это веро­ят­ность наше­го выиг­ры­ша во вто­рой игре.

Мы пом­ним, что веро­ят­ность выиг­ры­ша в пер­вой игре рав­на p. Оста­лось выяс­нить, что в нашем слу­чае боль­ше: р или 3р² — 2р³. Та игра, где веро­ят­ность выше, нам и нуж­на.

Математическое ожидание

Давай­те на секун­ду забу­дем, что мы зна­ем точ­ность наше­го фут­бо­ли­ста. Мы не в кур­се, что он заби­ва­ет 3 пеналь­ти из 5. Мы лишь зна­ем, что его веро­ят­ность попа­да­ния в воро­та рав­на р, при этом если p = 0, мы ниче­го не выиг­ра­ем, а если p = 100% (то есть 1), мы точ­но выиг­ра­ем 50 000 руб­лей. Оста­лось понять, како­ва веро­ят­ность выиг­ры­ша в про­ме­жу­точ­ных сце­на­ри­ях меж­ду 0% и 100%. Для это­го пона­до­бит­ся мате­ма­ти­че­ское ожи­да­ние.

Мате­ма­ти­че­ское ожи­да­ние — это про­из­ве­де­ние резуль­та­та на веро­ят­ность его полу­че­ния. В нашем слу­чае — про­из­ве­де­ние денеж­но­го при­за на веро­ят­ность его полу­че­ния. Это чис­ло не име­ет ника­ко­го отно­ше­ния к реаль­но­сти — по пра­ви­лам игры при точ­но­сти фут­бо­ли­ста 50% мы не полу­чим 25 000 руб­лей. Мы счи­та­ем мате­ма­ти­че­ское ожи­да­ние, толь­ко что­бы оце­нить свои шан­сы.

В пер­вом вари­ан­те игры наше мате­ма­ти­че­ское ожи­да­ние рав­но 50 000 × р, во вто­ром оно же рав­но 50 000 × (3р² — 2р³).

Что­бы понять, какое ожи­да­ние луч­ше, давай­те нари­су­ем два гра­фи­ка. Они пока­жут зави­си­мость резуль­та­та мате­ма­ти­че­ско­го ожи­да­ния каж­до­го слу­чая от веро­ят­но­сти того, что фут­бо­лист забьёт гол. Про­ще гово­ря, мы возь­мём веро­ят­ность гола в 1% и посмот­рим, чему будет рав­но мате­ма­ти­че­ское ожи­да­ние в обо­их слу­ча­ях. Потом возь­мём веро­ят­ность 2% и тоже посмот­рим на резуль­тат ожи­да­ния. Потом веро­ят­но­сти 3%, 4%, 5% и так далее. Когда дой­дём до 100%, кар­ти­на будет ясна:

Математическое ожидание от игр

Оран­же­вая линия пока­зы­ва­ет гра­фик мате­ма­ти­че­ско­го ожи­да­ния от пер­во­го вари­ан­та игры. Тут всё понят­но: чем точ­нее фут­бо­лист бьёт по воро­там, тем боль­ше веро­ят­ность, что мы выиг­ра­ем, связь линей­ная.

Серая линия пока­зы­ва­ет наши шан­сы в вари­ан­те игры с тре­мя уда­ра­ми. Тут начи­на­ет­ся самое инте­рес­ное:

Если точ­ность фут­бо­ли­ста мень­ше 50%, то наше мате­ма­ти­че­ское ожи­да­ние от вто­ро­го вари­ан­та игры ниже, чем от пер­во­го. То есть мази­ла ско­рее про­мах­нёт­ся, чем попа­дёт. И с точ­ки зре­ния тео­рии веро­ят­но­стей луч­ше бы он уда­рил один раз, чем три.

Если точ­ность фут­бо­ли­ста боль­ше 50%, то пер­вая игра даёт более низ­кое мате­ма­ти­че­ское ожи­да­ние, чем вто­рая.

Гра­фи­ки пере­се­ка­ют­ся ров­но посе­ре­дине, в веро­ят­но­сти 50%. Это зна­чит, что если бы у наше­го фут­бо­ли­ста все­гда было 5 попа­да­ний из деся­ти, то веро­ят­ность выиг­рать в любой из двух игр у нас оди­на­ко­вая.

Это мож­но объ­яс­нить ещё и так. Если фут­бо­лист заби­ва­ет пло­хо, то на побе­ду мож­но не рас­счи­ты­вать. Мак­си­мум, что слу­чит­ся — вам пове­зёт, и фут­бо­лист при уда­ре слу­чай­но забьёт гол. Так как такая уда­ча слу­чит­ся, ско­рее все­го, толь­ко один раз, то и выбрать в этом слу­чае нуж­но вари­ант с одним уда­ром. А если фут­бо­лист в целом неплох, то во вто­рой игре у него боль­ше шан­сов реа­би­ли­ти­ро­вать­ся и отыг­рать­ся, поэто­му нуж­но ста­вить на вто­рую игру.

И финаль­ный штрих: так как мы зна­ем, что p = 60%, нам очень лег­ко полу­чить мате­ма­ти­че­ские ожи­да­ния от двух игр, зная все веро­ят­но­сти:

Пер­вая игра. Матожидание = 50 000 × 0,6 = 30 000

Вто­рая игра. Матожидание = 50 000 × (3 × 0,62 — 2 × 0,63) = 32 400

Мато­жи­да­ние от вто­рой игры немно­го выше, чем от пер­вой. Мы, конеч­но, не полу­чим этих денег имен­но в таком виде. Но по это­му чис­лу мы видим, что вто­рая игра с точ­ки зре­ния веро­ят­но­стей нам выгод­нее.

Важное о вероятностях

Рас­счи­ты­вая веро­ят­но­сти, помни­те, что веро­ят­ность — это не гаран­тия. В момент игры может подуть силь­ный ветер, начать­ся дождь или фут­бо­лист может быть моти­ви­ро­ван спе­ци­аль­но мазать мимо ворот (такое сплошь и рядом в тео­рии игр). Веро­ят­но­сти рабо­та­ют толь­ко на боль­ших выбор­ках и в стро­го кон­тро­ли­ру­е­мых усло­ви­ях.

Напри­мер, нам могут пред­ло­жить сыг­рать 100 игр в оди­на­ко­вых усло­ви­ях, давая фут­бо­ли­сту воз­мож­ность доста­точ­но отды­хать после каж­дой игры. Тогда мате­ма­ти­че­ское ожи­да­ние будет иметь прак­ти­че­ский смысл.

Но если нам пред­ло­жат 100 игр под­ряд на откры­том воз­ду­хе, после каж­дой из кото­рых фут­бо­лист не будет отды­хать, то мы полу­чим как мини­мум два эффек­та:

Поэто­му мате­ма­ти­че­ское ожи­да­ние не явля­ет­ся гаран­ти­ей выиг­ры­ша. Чем при­ме­нять мато­жи­да­ние в став­ках на спорт или в кази­но, луч­ше най­ти высо­ко­опла­чи­ва­е­мую рабо­ту про­грам­ми­стом.

Ещё по теме