Один футболист против законов математики

Вероятность

В таких задачах всё зависит от вероятностей — насколько возможно, что это всё произойдёт. Вероятность чаще всего измеряется в процентах: чем они выше, тем вероятнее случится нужное нам событие. Например, когда мы подкидываем монету, вероятность того, что выпадет орёл — 50%. Это значит, что в половине случаев действительно выпадет орёл. А вероятность бросить кубик и сразу получить 6 очков — около 17% или ⅙ , потому что у кубика 6 равноценных граней.

Давайте обозначим символом р вероятность того, что футболист при любом ударе забивает гол в ворота. Получается, в первом варианте наши шансы получить деньги тоже равны р, потому что футболист должен забить с первого раза. Так как вероятность — это число от 0% до 100% (это то же самое, что от 0 до 1), мы имеем два выражения:

р — вероятность, что футболист попадёт в ворота.

(1 — р) — вероятность, что футболист промахнётся.

Если мы выбрали первую игру с одним ударом, вероятность выигрыша равна вероятности попадания в ворота, то есть р. Зная, что футболист попадает три раза из пяти, мы можем смело сказать: вероятность выигрыша в первой игре — 60%. Неплохая вероятность и пока всё очевидно.

А что со второй игрой? Стоит ли пробовать её, если мы знаем вероятность победы в первой? Давайте хотя бы сравним.

Для второго варианта игры есть восемь разных путей развития событий — комбинаций попаданий и непопаданий в ворота. Давайте занесём их в таблицу, и если в какой-то попытке мы попали в ворота — поставим на этом месте галочку. Рядом запишем значения вероятностей этих событий. Вероятности перемножаются:

В таблице приведены все варианты развития событий, никаких других быть не может. Судя по таблице, из восьми вариантов развития событий мы выигрываем в четырёх. Рассмотрим варианты выигрыша.

В трёх выигрышных случаях футболист промахивается один раз. Вероятности у этих трёх сценариев:

(1 — p) × р × р

p × (1 — p) × р

p × p × (1 — p)

Заметили, что все эти формулы можно привести к одному виду?

p × p × (1 — p)

А эта формула, в свою очередь, приводится к такому виду:

p × p × (1 — p)

p² × (1 — p)

p² — p³

В четвёртом призовом случае вы забьёте мяч три раза подряд, и вероятность этого такая:

p × p × p = p³

Чтобы узнать общую вероятность выигрыша, нужно сложить первые три и четвёртую. Для этого достаточно математики седьмого класса. Сделаем это пошагово:

(p² — p³) × 3 + p³

3p² — 3p³ + p³

3p² — 2p³ — это вероятность нашего выигрыша во второй игре.

Мы помним, что вероятность выигрыша в первой игре равна p. Осталось выяснить, что в нашем случае больше: р или 3р² — 2р³. Та игра, где вероятность выше, нам и нужна.

Математическое ожидание

Давайте на секунду забудем, что мы знаем точность нашего футболиста. Мы не в курсе, что он забивает 3 пенальти из 5. Мы лишь знаем, что его вероятность попадания в ворота равна р, при этом если p = 0, мы ничего не выиграем, а если p = 100% (то есть 1), мы точно выиграем 50 000 рублей. Осталось понять, какова вероятность выигрыша в промежуточных сценариях между 0% и 100%. Для этого понадобится математическое ожидание.

Математическое ожидание — это произведение результата на вероятность его получения. В нашем случае — произведение денежного приза на вероятность его получения. Это число не имеет никакого отношения к реальности — по правилам игры при точности футболиста 50% мы не получим 25 000 рублей. Мы считаем математическое ожидание, только чтобы оценить свои шансы.

В первом варианте игры наше математическое ожидание равно 50 000 × р, во втором оно же равно 50 000 × (3р² — 2р³).

Чтобы понять, какое ожидание лучше, давайте нарисуем два графика. Они покажут зависимость результата математического ожидания каждого случая от вероятности того, что футболист забьёт гол. Проще говоря, мы возьмём вероятность гола в 1% и посмотрим, чему будет равно математическое ожидание в обоих случаях. Потом возьмём вероятность 2% и тоже посмотрим на результат ожидания. Потом вероятности 3%, 4%, 5% и так далее. Когда дойдём до 100%, картина будет ясна:

Оранжевая линия показывает график математического ожидания от первого варианта игры. Тут всё понятно: чем точнее футболист бьёт по воротам, тем больше вероятность, что мы выиграем, связь линейная.

Серая линия показывает наши шансы в варианте игры с тремя ударами. Тут начинается самое интересное:

Если точность футболиста меньше 50%, то наше математическое ожидание от второго варианта игры ниже, чем от первого. То есть мазила скорее промахнётся, чем попадёт. И с точки зрения теории вероятностей лучше бы он ударил один раз, чем три.

Если точность футболиста больше 50%, то первая игра даёт более низкое математическое ожидание, чем вторая.

Графики пересекаются ровно посередине, в вероятности 50%. Это значит, что если бы у нашего футболиста всегда было 5 попаданий из десяти, то вероятность выиграть в любой из двух игр у нас одинаковая.

Это можно объяснить ещё и так. Если футболист забивает плохо, то на победу можно не рассчитывать. Максимум, что случится — вам повезёт, и футболист при ударе случайно забьёт гол. Так как такая удача случится, скорее всего, только один раз, то и выбрать в этом случае нужно вариант с одним ударом. А если футболист в целом неплох, то во второй игре у него больше шансов реабилитироваться и отыграться, поэтому нужно ставить на вторую игру.

И финальный штрих: так как мы знаем, что p = 60%, нам очень легко получить математические ожидания от двух игр, зная все вероятности:

Первая игра. Матожидание = 50 000 × 0,6 = 30 000

Вторая игра. Матожидание = 50 000 × (3 × 0,62 — 2 × 0,63) = 32 400

Матожидание от второй игры немного выше, чем от первой. Мы, конечно, не получим этих денег именно в таком виде. Но по этому числу мы видим, что вторая игра с точки зрения вероятностей нам выгоднее.