Задачка про туза и двойку
У нас есть стандартная колода из 52 игральных карт. Перемешиваем её, кладём рубашкой вверх и начинаем открывать карты по одной. Как только появился первый любой туз — открываем карты дальше. Какую карту мы после этого встретим с большей вероятностью — пикового туза или двойку треф?
Первая мысль при решении обычно такая: раз мы уже достали одного туза и смотрим дальше, то тузов осталось три, а двоек — четыре. Это значит, что вероятность встретить двойку треф выше, чем пикового туза. Но это неверное рассуждение: нас интересуют конкретные карты, а не тузы или двойки в целом.
На самом деле тут нужно разобрать четыре разных ситуации.
Первый туз оказался пиковым, а двойка треф ещё в колоде. Если первый туз, который мы открыли, оказался пиковым, то вероятность встретить его дальше — нулевая, а двойку треф мы точно увидим. Получается, при таком раскладе:
вероятность появления пикового туза = 0, а трефовой двойки = 1.
Первый туз оказался пиковым, а двойка треф вышла раньше. С таким раскладом вероятность встретить дальше обе карты равна нулю: у нас нет второго пикового туза, а двойка вышла раньше:
вероятность появления пикового туза = 0 и трефовой двойки = 0.
Первый туз — не пиковый, но двойка вышла раньше. В этом случае мы точно найдём пиковый туз и точно не найдём при переворачивании карт трефовую двойку:
вероятность появления пикового туза = 1, а трефовой двойки = 0.
Эти первые три варианта при многократном повторении эксперимента дают нам одинаковые шансы на то, что следующей картой, которую мы найдём, будет как пиковый туз, так и трефовая двойка:
⅓ — пиковый туз, ⅓ — трефовая двойка, ⅓ — ничего из этого
Получается, нужно смотреть на четвёртый вариант — когда первый туз не пиковый и трефовая двойка ещё есть в колоде.
Допустим, у нас вышло n карт, включая открытого туза. Это значит, что в колоде осталось (52 − n) карт. Пиковый туз в колоде один, и он может находиться на любой из (52 − n) позиции. Соответственно, вероятность того, что пиковый туз будет следующей открытой картой, составляет:
1 / (52 − n)
Но точно так же и с трефовой двойкой: она тоже в колоде одна и имеет такие же шансы встретиться первой после туза: 1 / (52 − n).
Выходит, что даже в четвёртом случае мы с одинаковой вероятностью можем встретить первым как пикового туза, так и трефовую двойку.
Задачка про перемешивание карт
Берём всё ту же колоду карт, перемешиваем, запоминаем порядок карт и перемешиваем снова. После этого перемешиваем колоду снова и смотрим, на каких позициях оказались карты. Каково математическое ожидание того, что после перемешивания хотя бы одна карта окажется на той же позиции в колоде?
На всякий случай держите статью про математическое ожидание на примере работы казино. Это может пригодиться при решении.
В решении этой задачи есть одно неочевидное место: нам нужно найти не вероятность события, а его математическое ожидание. Это значит, что нас интересуют результаты не одного эксперимента, как бы его среднее значение. Из-за этого решение может показаться неправильным или нелогичным, но такова математика.
Итак, у нас в колоде 52 карты. Вероятность того, что первая карта окажется на той же позиции — 1/52. Как разместятся остальные карты, нас пока не интересует, смотрим только на первую.
Теперь забываем про первую карту и переходим ко второй. Вероятность того, что вторая карта окажется на той же позиции — тоже 1/52, потому что нас не интересует положение первой карты и остальных — мы смотрим только на вторую.
С третьей картой такая же история — вероятность её размещения равна 1/52. Четвёртая, пятая и все остальные карты размещаются на своём месте с той же вероятностью.
Теперь, чтобы найти общее значение вероятности того, что хотя бы одна карта окажется на своём месте, сложим вероятности каждой карты. Раз у нас 52 карты и каждая размещается на своём месте с одной и той же вероятностью, то матожидание будет равно:
52 × 1/52 = 1
Оказывается, математика говорит нам, что как бы мы ни перемешивали карты случайным образом, в среднем хотя бы одна карта будет на старом месте.
На практике это работает так:
Первое перемешивание: 0 карт на старом месте
Второе перемешивание: 2 карты на старом месте
Третье перемешивание: 1 карта на старом месте
Четвёртое перемешивание: 0 карт на старом месте
Пятое перемешивание: 2 карты на старом месте
5 перемешиваний / 5 карт = в среднем одна карта оказывается на своём месте.
Конечно, такой результат не получится после одного, двух или пяти перемешиваний — нужно провести серию из тысячи перемешиваний, но средний результат будет именно такой.
Что дальше
В следующей части мы проверим эту математику на практике: напишем код, который будет перемешивать карты и смотреть, получаются ли такие же результаты или теория ошиблась при расчётах.
