Задача про новую должность и выбор зарплаты

Одна­жды про­грам­мист устра­и­вал­ся на рабо­ту, где ему пред­ло­жи­ли само­му выбрать себе зар­пла­ту. Но сде­ла­ли это хит­ро, так, что­бы сра­зу про­ве­рить его про­ф­при­год­ность: дали на выбор два конверта.

В каж­дом кон­вер­те лежат листоч­ки с «оффе­ра­ми» — это доку­мент, где напи­са­но пред­ло­же­ние с долж­но­стью, усло­ви­я­ми рабо­ты и зар­пла­той. Два кон­вер­та — два «оффе­ра». Кон­вер­ты запечатаны.

В одном оффе­ре денег в два раза боль­ше, чем в дру­гом, но никто не зна­ет, где какая сум­ма. Про­грам­ми­сту мож­но открыть один кон­верт, про­чи­тать оффер и решить — оста­вить этот кон­верт или выбрать дру­гой. Под­ска­жи­те про­грам­ми­сту, что луч­ше — оста­вить этот, выбрать дру­гой или без разницы?

Решения

Решение обычного человека

Если рас­суж­дать с пози­ции про­сто­го здра­во­го смыс­ла, реше­ние будет таким: игно­ри­ру­ем эти тупые игры, откры­ва­ем оба кон­вер­та, и если сре­ди них есть здра­вый оффер — согла­ша­ем­ся, а нет — до сви­да­ния. Ишь чего вздумали!

Мож­но ещё ска­зать: «Мне не под­хо­дят оба оффе­ра, но если вы гото­вы пред­ло­жить мне сум­му этих двух оффе­ров, позво­ни­те. Мой номер — про­из­ве­де­ние пер­вых 10 про­стых чисел...»

Но мож­но подой­ти к реше­нию с точ­ки зре­ния мате­ма­ти­ки и статистики.

Решение программиста

Что­бы узнать пра­виль­ный ответ, нам пона­до­бит­ся мате­ма­ти­че­ское ожи­да­ние — мы уже рас­ска­зы­ва­ли про него в зада­че про фут­бо­ли­ста.

Допу­стим, что про­грам­мист выбрал один кон­верт и обна­ру­жил в нём оффер на Х руб­лей. Зна­чит, в дру­гом кон­вер­те будет оффер либо на 0,5Х руб­лей, либо на 2Х рублей.

Посчи­та­ем мате­ма­ти­че­ское ожи­да­ние при выбо­ре того или ино­го реше­ния. Веро­ят­ность нахож­де­ния боль­шей или мень­шей сум­мы оди­на­ко­во и рав­но 50% или 0,5. Зна­чит, если в кон­вер­те лежит 0,5Х руб­лей, мато­жи­да­ние для него будет рав­но 0,5Х × 0,5 = 0,25Х. А если там лежит 2Х руб­лей, то мате­ма­ти­че­ское ожи­да­ние будет такое: 2Х × 0,5 = Х.

Теперь сло­жим эти чис­ла, что­бы узнать общее мато­жи­да­ние, если мы выбе­рем дру­гой кон­верт вме­сто откры­то­го: 0,25Х + Х = 1,25Х.

В откры­том кон­вер­те у нас все­гда оффер на Х руб­лей. 1,25X > X, поэто­му, с точ­ки зре­ния мате­ма­ти­ки, выгод­нее выбрать вто­рой кон­верт, так как сум­мар­ная веро­ят­ность полу­чить боль­ше денег будет выше.

Так­же важ­но пом­нить, что мы гово­рим о мате­ма­ти­че­ском ожи­да­нии и ста­ти­сти­ке: всё это рабо­та­ет на сот­нях и тыся­чах кон­вер­тов, если усред­нить резуль­тат. В отдель­ном кон­крет­ном слу­чае это рас­суж­де­ние не име­ет смысла.

От редак­ции:

Пара­докс зада­чи про кон­вер­ты в том, что шанс вытя­нуть боль­шую или малень­кую зар­пла­ту равен 50% толь­ко до выбо­ра и откры­тия пер­во­го кон­вер­та. Как толь­ко чело­век откры­ва­ет пер­вый кон­верт, веро­ят­ность мень­шей зар­пла­ты во вто­ром кон­вер­те сра­зу рав­на либо 100%, либо 0%, пото­му что там тоже лежит кон­крет­ная сум­ма, кото­рая не поме­ня­ет­ся от выбо­ра чело­ве­ка. Поэто­му в этот момент уже некор­рект­но гово­рить о том, что шанс вытя­нуть кон­верт с сум­мой поболь­ше или помень­ше — 50%.

Но чело­век не может зара­нее знать, где какая сум­ма, и объ­ек­тив­но для него во вто­ром кон­вер­те может быть как зар­пла­та поболь­ше, так и помень­ше — с оди­на­ко­вой веро­ят­но­стью оши­бить­ся. Имен­но из-за это­го незна­ния и суще­ству­ет этот пара­докс двух конвертов.