Сегодняшняя задачка — из школьного курса в США, которую дали девятилетним ученикам.
Стартовые условия: есть пирамида с тремя числами в основании. Каждое число выше равно сумме двух нижних — и так в обоих нижних рядах:
А теперь сама задача: чему равна сумма сердечка и звёздочки, если новая пирамида построена по этому же принципу. Перед тем как заглядывать в ответы, попробуйте найти эту сумму самостоятельно.
Самое простое решение этой задачи такое: мы сначала смотрим, что стоит в первой пирамиде на тех же местах, и находим сумму этих чисел. Так как там стоит 7 и 4, то сумма равна 11:
А теперь посмотрим на первую пирамиду и попробуем понять, можно ли в ней как-то быстро получить те же 11, но с другими числами. И сразу находим решение — это числа 13 и 2 в углах пирамиды:
По этому же принципу находим значение во второй пирамиде — вычитаем 7 из 40 и получаем 33:
Получается, что ответ на задачу — 33. Как ни странно, он правильный, но доказательство, согласитесь, очень слабое. Сильнее — в следующих решениях.
В этом решении мы сделаем очень просто: сделаем вторую пирамиду и будем подставлять в нижний ряд по очереди все целые числа от единицы и смотреть, что получится.
Сначала попробуем единицу:
По логике пирамиды во втором ряду будут числа:
7 + 1 = 8
1 + 9 = 10
Но с верхним значением проблема: по идее сумма среднего ряда должна равняться числу на вершине, но 8 + 10 ≠ 40. Значит, не единица, идём дальше.
Теперь проверим двойку. Второй ряд будет такой:
7 + 2 = 9
2 + 9 = 11
Но 9 + 11 ≠ 40, поэтому двойка тоже не подходит.
Так, шаг за шагом мы перебираем все числа и доходим до числа 12:
7 + 12 = 19
12 + 9 = 21
Проверяем сумму и сравниваем с вершиной: 19 + 21 = 40! Получается, мы правильно заполнили всю пирамиду и теперь можем взять два нужных нам числа, сложить их и получить требуемый ответ:
12 + 21 = 33 – точно так же, как в первом решении, но сейчас у нас хотя бы есть доказательства, что это действительно правильный ответ, а не простое совпадение.
Теперь поступим как математики: составим уравнение и попробуем его решить. Для этого нам понадобится третья переменная — x, которой мы обозначим последнюю пустую клетку. В итоге пирамида будет выглядеть так:
Теперь запишем то, что мы уже знаем из условий, только на языке математики и уравнений:
❤ = ★ + 9
x = 7 + ★
Сложим эти два уравнения между собой, правую и левую части:
❤ + x = ★ + 9 + 7 + ★
❤ + x = 2★ + 16
Добавим сюда значение из вершины пирамиды:
★ + ❤ = 40
Но выражение ★ + ❤ у нас есть и в предыдущем уравнении, а раз оно равно 40, то и подставим это значение в предыдущее длинное уравнение:
40 = 2★ + 16
2★ = 40 − 16 = 24
★ = 12
Теперь подставим значение звёздочки в уравнение ❤ = ★ + 9:
❤ = 12 + 9
❤ = 21
Наконец, зная оба значения, посчитаем сумму, которая от нас требуется по условию:
12 + 21 = 33
Ура, задача решена. Снова :-)
