Морфеус и математика против агентов Матрицы

Одна­жды аген­ты Мат­ри­цы пой­ма­ли Мор­фе­уса и дали ему выби­рать его же таб­лет­ки — крас­ные или синие. Крас­ная воз­вра­ща­ет Мор­фе­уса в реаль­ный мир, а синяя навсе­гда остав­ля­ет его внут­ри Мат­ри­цы и в руках аген­тов. Выбор про­ис­хо­дит так: Мор­фе­ус сам берёт 50 крас­ных и 50 синих таб­ле­ток, как угод­но рас­кла­ды­ва­ет их по двум оди­на­ко­вым короб­кам, а потом агент Мат­ри­цы сам выби­ра­ет любую короб­ку и не гля­дя доста­ёт отту­да слу­чай­ную таблетку.

Как Мор­фе­усу нуж­но раз­ло­жить все таб­лет­ки по короб­кам, что­бы мак­си­маль­но уве­ли­чить свои шан­сы на спасение?

Решение

Если сло­жить все таб­лет­ки в одну короб­ку, то шанс вытя­нуть крас­ную будет 50/100 или 50%. Такая же веро­ят­ность будет, если раз­ло­жить синие и крас­ные таб­лет­ки по короб­кам мак­си­маль­но рав­но­мер­но: 25/50 в каж­дой короб­ке. Наша зада­ча — уве­ли­чить эту вероятность.

Что­бы это сде­лать, Мор­фе­ус дол­жен в одну короб­ку поло­жить толь­ко одну крас­ную таб­лет­ку, а в дру­гую короб­ку — все осталь­ные таб­лет­ки вме­сте. Теперь посчи­та­ем новые вероятности.

Шанс, что агент выбе­рет короб­ку, где лежит толь­ко одна таб­лет­ка, — 50%, пото­му что короб­ки оди­на­ко­вые. А шанс вытя­нуть крас­ную таб­лет­ку, когда в короб­ке и так толь­ко одна крас­ная, — 100%. Полу­ча­ем, что общая веро­ят­ность спа­се­ния Мор­фе­уса в этом случае:

0,5 (веро­ят­ность выбо­ра короб­ки) × 1 (веро­ят­ность вытя­нуть крас­ную таб­лет­ку) = 0,5, или 50%.

Посчи­та­ем шан­сы для дру­го­го слу­чая. Вто­рую короб­ку тоже вытя­нут с веро­ят­но­стью 0,5, как и в пер­вом слу­чае. Но веро­ят­ность вытя­нуть одну крас­ную таб­лет­ку из 99, где 49 из них тоже крас­ные, рав­на 49/99 или ~0,495. Пере­мно­жа­ем, что­бы полу­чить общую веро­ят­ность спа­стись в этом случае:

0,5 (веро­ят­ность выбо­ра короб­ки) × 0,495 (веро­ят­ность вытя­нуть крас­ную таб­лет­ку) = 0,2475, или 24,75%.

Что­бы узнать общую веро­ят­ность на спа­се­ние в обо­их слу­ча­ях, скла­ды­ва­ем веро­ят­но­сти в каж­дом случае:

Общая веро­ят­ность = веро­ят­ность в пер­вом слу­чае + веро­ят­ность во вто­ром случае.

Общая веро­ят­ность = 50% + 24,75% = 74,75%

Полу­ча­ет­ся, что Мор­фе­усу уда­лось повы­сить свои шан­сы на спа­се­ние в пол­то­ра раза!