Задача про треугольник и неполные размеры

Задача про треугольник и неполные размеры

Как найти площадь треугольника, если нет точных данных?

Сегодня задачка на логику и геометрию, как в школе. Это не нужно в ИТ, но иногда нужно отвлекаться. 

Вот картинка, тут всё понятно. Нужно найти площадь треугольника:

Задача про треугольник и неполные размеры

Решение с тригонометрией

Так как у нас в треугольник вписан квадрат, это значит, что обе его стороны находятся под прямым углом к основанию треугольника:

Задача про треугольник и неполные размеры

А раз так, то угол, который образуется при пересечении наклонной линии, совпадает с углом наклона этой линии к основанию:

Задача про треугольник и неполные размеры

Если у треугольников есть два одинаковых угла, то такие треугольники называются подобными. А раз они подобные, то и соотношение сторон у них будет одно и то же. Обозначим сторону квадрата за X:

Теперь построим соотношение:

5 / X = X / 20 ← решим это уравнение

X² = 5 × 20 = 100

X = 10

Зная сторону квадрата, можно легко найти площадь всего треугольника:

(5 + 10) × (10 + 20) / 2 = 15 × 30 / 2 = 225

Нестандартное решение без тригонометрии

Представим, что мы ничего не знаем про тригонометрию, углы и подобие треугольников. Возьмём наш рисунок и мысленно достроим его до прямоугольника:

Задача про треугольник и неполные размеры

Так как у квадрата все углы прямые, то и синие линии у нас тоже пересекаются под прямыми углами между собой и с внешним прямоугольником. Это значит, что мы можем перенести известные размеры на оранжевый прямоугольник:

Задача про треугольник и неполные размеры

Зная длину и ширину, посчитаем его площадь — 5 × 20 = 100.

Теперь посмотрим на рисунок так: у нас есть прямоугольник, разделённый пополам по диагонали. Это значит, что площадь нижних треугольников совпадает с площадью верхних треугольников:

Задача про треугольник и неполные размеры

Но раз у нас часть площадей в верхнем и нижнем треугольнике одинаковая, их можно вычесть из обеих частей:

Задача про треугольник и неполные размеры

Получается, что площадь оранжевого прямоугольника совпадает с площадью квадрата. А мы знаем, что площадь прямоугольника равна 100; получается, чтобы найти сторону квадрата, нужно извлечь квадратный корень:

√100 = 10

Значит, сторона квадрата равна 10. Этого достаточно, чтобы посчитать всю площадь треугольника:

(5 + 10) × (10 + 20) / 2 = 15 × 30 / 2 = 255

Текст:

Михаил Полянин

Редактор:

Максим Ильяхов

Художник:

Алексей Сухов

Корректор:

Ирина Михеева

Вёрстка:

Кирилл Климентьев

Соцсети:

Виталий Вебер

Получите ИТ-профессию
В «Яндекс Практикуме» можно стать разработчиком, тестировщиком, аналитиком и менеджером цифровых продуктов. Первая часть обучения всегда бесплатная, чтобы попробовать и найти то, что вам по душе. Дальше — программы трудоустройства.
Начать карьеру в ИТ
Получите ИТ-профессию Получите ИТ-профессию Получите ИТ-профессию Получите ИТ-профессию
Еще по теме
Два аналитика, два неизвестных, две минуты
Два аналитика, два неизвестных, две минуты

Задачка на математику и логику.

easy
БАТАРЕЙКА! Задача про программиста и бракованные батарейки
БАТАРЕЙКА! Задача про программиста и бракованные батарейки

Непростая задачка на вероятности

easy
Новая задача про хитрого электрика

На этот раз у него 49 проводов, но он справится.

hard
Как перевезти гопников и философов с одного берега на другой
Как перевезти гопников и философов с одного берега на другой

Олимпиадная задачка для старшеклассников. Но справитесь ли с ней вы?

easy
Сложная задача про длину кабеля
Сложная задача про длину кабеля

Потребуется логика и воображение

easy
Как разделить неделимое наследство

Старая, но интересная задача про то, как выполнить невыполнимое условие.

hard
Зубодробительная задачка с очень простой математикой

Эта задача поставит в тупик половину интернета, но не вас.

medium
Андрюха, у нас логика! Возможно, криминал

Логическая задача о преступности.

easy
Как найти площадь прямоугольника?
Как найти площадь прямоугольника?

Геометрическая задача с математическим решением

easy
Задача про выгодную покупку
Задача про выгодную покупку

Быть умным — выгодно.

easy
easy