Непростая задача про орехи

Сего­дня рас­смот­рим одну из самых нена­вист­ных, алго­рит­ми­че­ски неоче­вид­ных и вме­сте с тем про­стых в реше­нии задач — клас­си­че­скую зада­чу на сме­ши­ва­ние. Это про­грам­ма собе­се­до­ва­ний и школь­ных олимпиад.

Усло­вия:

  • В про­дук­то­вый мага­зин при­вез­ли два паке­та — с оре­ха­ми и сухофруктами. 
  • Про­да­вец ссы­пал всё в один пакет и перемешал.
  • Про­да­вец сло­жил сто­и­мость при­ве­зён­ных оре­хов с сухо­фрук­та­ми и поде­лил на общий вес в 32 кило­грам­ма. Полу­чи­лась цена сме­си в 285 руб­лей за килограмм.
  • Вско­ре наклад­ные на товар поте­ря­лись, и мы боль­ше не зна­ем, сколь­ко кило­грамм было в каж­дом паке­те по отдельности.
  • Но мы зна­ем сто­и­мость преды­ду­щих поста­вок: 300 руб­лей за кило­грамм оре­хов и 240 за кило сухофруктов.

Зада­ча: узнать вес при­ве­зён­ных паке­тов с оре­ха­ми и сухо­фрук­та­ми, что­бы поста­вить их на учёт.

Решение

Нач­нём с того, что у нас есть: посчи­та­ем общую сто­и­мость сме­си, кото­рая полу­чи­лась в итоге.

32 кило­грам­ма × 285 рублей/кг = 9120 рублей.

Теперь неин­ту­и­тив­ная часть. Нахо­дить реше­ние зада­чи мы будем через раз­ни­цы сто­и­мо­стей каж­до­го из ком­по­нен­тов сме­си. Сна­ча­ла мы пой­мём, сколь­ко сто­и­ла бы смесь, если бы в ней были толь­ко оре­хи или толь­ко сухо­фрук­ты. И потом через раз­ни­цу смо­жем уста­но­вить всё, что нужно. 

Если бы вся смесь была толь­ко из сухо­фрук­тов по 240 руб­лей за кило, то она бы стоила:

32 кило­грам­ма × 240 рублей/кг = 7680 рублей. 

Но наша смесь сто­ит доро­же, пото­му что в ней есть оре­хи. Из-за того, что к сухо­фрук­там доба­ви­ли доро­гие оре­хи, они ста­ли сто­ить на 9120 − 7680 = 1440 руб­лей. Это общая раз­ни­ца в сто­и­мо­сти меж­ду ито­го­вой сме­сью и одни­ми сухофруктами.

Раз­ни­ца меж­ду сто­и­мо­стью одно­го кило­грам­ма оре­хов и сухо­фрук­тов = 300 − 240 = 60 руб­лей. Дру­ги­ми сло­ва­ми, каж­дый кило­грамм оре­хов в этой сме­си делал бы ее сто­и­мость на 60 руб­лей боль­ше. Если бы мы взя­ли 31 кг сухо­фрук­тов и 1 кг оре­хов, то общая сто­и­мость была бы 7680 + 60 руб­лей. Если бы мы взя­ли 30 кг сухо­фрук­тов и 2 кг оре­хов, то 7680 + 120 рублей.

Если про­дол­жить так добав­лять оре­хи, то в какой-то момент раз­ни­ца в сто­и­мо­сти ста­нет 1440 руб­лей — имен­но эту раз­ни­цу мы вычис­ли­ли чуть выше. Оста­лось понять, сколь­ко раз нуж­но «под­сы­пать» оре­хов в эту смесь, что­бы полу­чить такую стоимость: 

1440 / 60 = 24 килограмма.

А раз вся смесь весит 32 кило­грам­ма, лег­ко посчи­тать вес остав­ших­ся сухо­фрук­тов: 32 – 24 = 8 килограмм.

Насто­я­щий кла­дов­щик все­гда про­ве­рит рас­чё­ты, поэто­му сде­ла­ем как кладовщик:

24 × 300 = 7200 руб­лей — столь­ко сто­ят оре­хи в смеси;

8 × 240 = 1920 руб­лей — столь­ко сто­ят сухо­фрук­ты в смеси.

Ито­го: 7200 + 1920 = 9120 руб­лей — общая сто­и­мость, всё сходится.

Текст:

Миха­ил Полянин

Редак­ту­ра:

Мак­сим Ильяхов

Худож­ник:

Даня Бер­ков­ский

Кор­рек­тор:

Ири­на Михеева

Вёрст­ка:

Мария Дро­но­ва

Соц­се­ти:

Олег Веш­кур­цев