Друзья решили открыть кафе и стали продавать с кофе пончики, рогалики, пиццу и мороженое. Через месяц получилась такая статистика:
- пончики покупают 65% посетителей;
- рогалики — 80%;
- пиццу — 80%;
- мороженое — 90%.
Маркетолог увидел, что как минимум 65% посетителей покупают все эти продукты, и предложил продавать набор из всех четырёх компонентов, чтобы увеличить выручку. Но аналитик сказал, что на самом деле таких покупателей меньше, и доказал это за 5 минут.
Так сколько людей покупают все 4 перекуса?
Чтобы было проще, нарисуем кружочками процентное соотношение всех, кто покупает каждый продукт. Один кружочек — 5%:
![Задача про пончики, аналитиков и маркетологов](https://thecode.media/wp-content/uploads/2023/12/unnamed-1-2.png)
Маркетолог думал так: раз 65% покупателей — это минимальное количество среди всех покупателей, то это значит, что эти же 65% точно покупают все 4 продукта:
![Задача про пончики, аналитиков и маркетологов](https://thecode.media/wp-content/uploads/2023/12/unnamed-2-1.png)
Но на самом деле это не так. Чтобы выяснить реальное количество таких покупателей, нам нужно рассмотреть самый негативный сценарий — когда покупатели максимально не пересекаются по продуктам.
Начнём с рогаликов: возьмём 20% тех, кто их не покупает и сдвинем влево так, чтобы они закончились ровно под теми кружочками, которые не покупают пончики. Для этого берём этих покупателей…
![Задача про пончики, аналитиков и маркетологов](https://thecode.media/wp-content/uploads/2023/12/unnamed-3-1.png)
…и сдвигаем их левее, чтобы они заканчивались там, где заканчиваются покупатели пончиков:
![Задача про пончики, аналитиков и маркетологов](https://thecode.media/wp-content/uploads/2023/12/unnamed-4-1.png)
То же самое сделаем с пиццей — передвинем серые кружки левее, чтобы они закончились там, где начинаются серые у рогаликов:
![Задача про пончики, аналитиков и маркетологов](https://thecode.media/wp-content/uploads/2023/12/unnamed-5.png)
И, наконец, проделаем это с мороженым:
![Задача про пончики, аналитиков и маркетологов](https://thecode.media/wp-content/uploads/2023/12/unnamed-6.png)
Теперь посмотрим на процент тех, кто гарантированно покупает все 4 продукта — это всего первые три кружка, то есть 15%:
![Задача про пончики, аналитиков и маркетологов](https://thecode.media/wp-content/uploads/2023/12/unnamed-7.png)
Второй способ решения — использовать круги Эйлера (осторожно, Википедия). С их помощью мы сможем найти пересечения между разными группами покупателей и найти тех, кто берёт все продукты.
Начнём с пары «пончик — рогалик». Мы знаем, что пончики покупают 65% посетителей — это значит, что 35% их не берут:
![Задача про пончики, аналитиков и маркетологов](https://thecode.media/wp-content/uploads/2023/12/unnamed-8.png)
Эти 35% могут также не входить в число тех, кто берёт рогалики, — исходим из этого, чтобы найти минимально возможное пересечение. Получается, что раз 80% посетителей берут рогалики и 35% из них не берут пончики, то в этой паре только 45% посетителей берут и то и другое:
![Задача про пончики, аналитиков и маркетологов](https://thecode.media/wp-content/uploads/2023/12/unnamed-9.png)
Теперь сделаем то же самое с парой «пицца — мороженое». Если 80% берут пиццу, то 20% её не покупают:
![Задача про пончики, аналитиков и маркетологов](https://thecode.media/wp-content/uploads/2023/12/unnamed-10.png)
Соответственно, из 90% тех, кто берёт мороженое, 20% не берут пиццу. Значит, тех, кто покупает и пиццу, и мороженое, — 90% − 20% = 70%:
![Задача про пончики, аналитиков и маркетологов](https://thecode.media/wp-content/uploads/2023/12/unnamed-11.png)
Наконец, объединим эти две группы в одну, чтобы найти общее пересечение — тех, кто покупает все четыре продукта. Для этого сделаем то же самое: если пончик и рогалик берут 45%, то 55% покупателей их не берут:
![Задача про пончики, аналитиков и маркетологов](https://thecode.media/wp-content/uploads/2023/12/unnamed-12.png)
Добавим сюда тех, кто берёт пиццу и мороженое, — их 70%. А раз 55% не берут пончик и рогалик, получается, что тех, кто берёт все четыре продукта, — 70% − 55% = 15%:
![Задача про пончики, аналитиков и маркетологов](https://thecode.media/wp-content/uploads/2023/12/unnamed-13.png)
Используем матлогику для решения. Чтобы найти размер пересечения двух множеств, используется такая формула:
![Задача про пончики, аналитиков и маркетологов](https://thecode.media/wp-content/uploads/2023/12/unnamed-14.png)
В переводе на русский это значит: чтобы найти процентное пересечение двух множеств, нужно от ста отнять объединение дополнений этих множеств. Дополнение — это то количество, которое не хватает множеству до 100%.
Например, для пересечения пончиков и рогаликов это работает так:
100% − (35% [не хватает пончикам до сотни] + 20% [не хватает рогаликам до сотни]);
100% − 55% = 45% — именно такой результат мы получили в решении с кругами.
Обозначим буквами все продукты:
![Задача про пончики, аналитиков и маркетологов](https://thecode.media/wp-content/uploads/2023/12/unnamed-15.png)
Теперь используем ту же формулу, чтобы посчитать общее пересечение четырёх множеств:
![Задача про пончики, аналитиков и маркетологов](https://thecode.media/wp-content/uploads/2023/12/unnamed-16.png)
Подставим цифры вместо дополнений и раскроем скобки:
100 − 35 − 20 − 20 − 10 = 15
Получается, что эти множества пересекаются как минимум на 15%, а это значит, что реальных покупателей, которые берут все четыре продукта, — 15%.