1 = 0,999999999…

1 = 0,999999999…

Как такое возможно?

Вот вам безумная мысль:

Есть число 0,99999999… с девятками до бесконечности 

Это число равно единице.

То есть 0,9999999… = 1

Как такое возможно? Сейчас разберём. 

Может показаться, что всё, что написано ниже, — полная чушь, но на самом деле математика работает именно так. В ней есть странные для понимания вещи, и эта — одна из них.

Обозначим 0,999999… как X:

X = 0,99999…

Умножим обе части на 10. Так как у нас бесконечное число девяток, то 0,99999… превратится в 9,99999… и так тоже до бесконечности:

10X = 9,99999…

Но мы же в самом начале договорились, что X — это 0,99999…, поэтому, раз они равны, вычтем из левой части X, а из правой — это число. Так мы уберём все повторяющиеся девятки после запятой:

10X − X = 9,99999… − 0,99999…

9X = 9

X = 1

А раз у нас было в начале, что X равен 0,99999…, то получается, что:

1 = X = 0,99999…

1 = 0,99999…

Это не очередной математический трюк, мы действительно только что доказали, что 0,99999… = 1.

Вспомним обычные дроби и разделим единицу на 3 — получим ⅓. 

Если мы попробуем разделить 1 на 3, то получим бесконечные тройки:

⅓ = 0,33333…

При этом если мы умножим простую дробь ⅓ на 3, то получим обратно целую единицу:

(1 / 3) × 3 = (1 × 3) / 3 = 3 / 3 = 1

Но мы знаем, что ⅓ — это 0,33333…, поэтому если мы умножим обе части на три, то тоже получим целую единицу:

⅓ × 3 = 0,33333… × 3

1 = 0,99999…

Мы снова только что доказали это.

Используем классическое определение рядов и пределов из курса математического анализа. Если упростить, то предел — это к какому числу стремится какая-то бесконечная конструкция.

Раз у нас в числе 0,99999… количество девяток стремится к бесконечности, то это можно записать как обычный предел:

1 = 0,999999999…

Решая этот предел, мы придём к такому:

1 = 0,999999999…

Получается, мы через пределы доказали, что 0,99999… = 1.

Допустим, что мы хотим посчитать разницу между единицей и 0,99999…:

1 − 0,99999… = ?

Если наш ответ будет что-то вроде «ну, тут бесконечное число нулей, а потом единица», то получается, что наше бесконечное число нулей в какой-то момент заканчивается. Но это странно, потому что девяток-то у нас точно бесконечно много и они не заканчиваются. А нули — заканчиваются и потом единица. 

Но так не бывает, что бесконечность внезапно заканчивается, а значит, наше предположение, что в конце будет единица — неверно. Получается, что нули в ответе никогда не закончатся, а значит, и весь ответ будет равен нулю:

 

1 − 0,99999… = 0

А раз так, то левая часть равна правой. Мы доказали это. Снова.

Спокойно, выдыхайте. Всё дело в «бесконечном числе девяток», а конкретно — в понятии «бесконечности». Бесконечность — виртуальное понятие, у которого нет представления в реальности. Бесконечность ломает наши представления о реальности. 

Представьте так: у вас есть голова сыра весом ровно 1 кг. Вам нужно снять с неё стружку так, чтобы сыр стал весить 0,999… кг. Какого веса должна быть эта стружка? Если новый вес должен быть 0,999… до бесконечности, то стружка должна быть 0,000… до бесконечности. То есть 0.

Текст:

Михаил Полянин

Редактор:

Максим Ильяхов

Художник:

Алексей Сухов

Корректор:

Ирина Михеева

Вёрстка:

Кирилл Климентьев

Соцсети:

Виталий Вебер

Любите математику? Это для вас
Попробуйте бесплатный тренажер «Основы математики для цифровых профессий». Это все необходимые знания, чтобы закрыть пробелы в математике для айтишника.
Попробовать бесплатно
Любите математику? Это для вас Любите математику? Это для вас Любите математику? Это для вас Любите математику? Это для вас
Получите ИТ-профессию
В «Яндекс Практикуме» можно стать разработчиком, тестировщиком, аналитиком и менеджером цифровых продуктов. Первая часть обучения всегда бесплатная, чтобы попробовать и найти то, что вам по душе. Дальше — программы трудоустройства.
Начать карьеру в ИТ
Получите ИТ-профессию Получите ИТ-профессию Получите ИТ-профессию Получите ИТ-профессию
Еще по теме
Макроэкономическая задача про кино

Философия и математика на страже упущенных возможностей

easy
Задача про безумного рекрутера и большой офис
Задача про безумного рекрутера и большой офис

Вот что бывает, когда начинаешь бесконтрольно нанимать людей, — внезапно заканчивается место в офисе.

easy
9 простых задач на математику

Всё настолько просто, что половину можно решить в уме.

easy
Как рассадить интровертов в баре

Заходят как-то в бар два интроверта...

hard
Итого — 9 поездок, в два раза меньше, чем первым способом! Граждане, берегите лифт!
Логическая задача про лифт

Сколько нужно выдержать поездок, чтобы попасть на свой этаж?

easy
Как перевезти гопников и философов с одного берега на другой
Как перевезти гопников и философов с одного берега на другой

Олимпиадная задачка для старшеклассников. Но справитесь ли с ней вы?

easy
Находчивый инженер в кафе

Как логика побеждает разгильдяйство.

medium
Какой сегодня день недели? Когда выходной?
Какой сегодня день недели? Когда выходной?

А? Что? Как? Задача какая-то

easy
Чужой, Хищник и случай на озере

Задачка на геометрию.

medium
Задачка: как выключить духовку?
Задачка: как выключить духовку?

Несложная математика, полезно для программирования.

easy
medium