Руководители одного ИТ-стартапа решили выступить на конференции и рассказать о своём проекте, чтобы получить новые инвестиции. Они выяснили, что если спикеры будут выступать в определённом порядке (Алексей → Борис → Владимир), то шансы на успех сильно вырастают. Но в конференции кроме них участвует ещё 5 человек, а организаторы не могут сказать заранее, кто за кем выступает.
Каковы у руководителей ИТ-стартапа шансы на то, что спикеры выступят в нужном порядке? То, что между ними, до или после них могут выступать другие спикеры, не влияет на успех, главное, чтобы сохранился общий порядок выступления.
Эта задача может показаться сложной из-за дополнительных спикеров, но на самом деле решается она довольно просто. Для решения нам понадобится правильный порядок выступлений, поэтому обозначим его по первым буквам их имён: А → Б → В.
Если у нас три спикера, то всё просто: порядок будет А → Б → В. Теперь добавим четвёртого, которого обозначим за х — он может выступить так:
- x → A → Б → В
- А → х → Б → В
- А → Б → х → В
- А → Б → В → х
Получается, четвёртый спикер может выступить четырьмя разными способами — это значит, что если добавим его, то у нас уже будет 4 варианта успешного выступления.
Теперь добавим пятого спикера — он может выступить на одной из 5 позиций — в начале, между каждым существующим спикером и в самом конце. Получается, пятый спикер даст нам ещё 5 вариантов.
По этой схеме, шестой, седьмой и восьмой спикер дадут нам 6, 7 и 8 новых вариантов выступлений. Получается, общее количество выступлений, при которых сохраняется выбранный порядок — 4 × 5 × 6 × 7 × 8.
Общее количество вариантов порядка выступлений восьми спикеров — это 8!, где восклицательный знак — это факториал числа, то есть 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8.
Чтобы найти вероятность успешного выступления, разделим число успешных выступлений на общее количество:
(4 × 5 × 6 × 7 × 8) / (1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8)
Сократим общие множители и получим: 1 / (1 × 2 × 3) = ⅙
Получается, что вероятность успешного порядка выступления — ⅙ или 16%
Наблюдение
Раз у нас успешность зависит только от порядка выступления наших трёх спикеров, то давайте посчитаем вероятность правильного порядка среди трёх человек. Количество перестановок, которые можно сделать — это 3!, то есть 1 × 2 × 3 = 6. Но из них нас устраивает только один порядок, поэтому вероятность успешного выступления в этой комбинации — ⅙.
Технически этого было бы достаточно для решения, но нам нужно было убедиться, что добавление остальных участников не перевесит шансы на успешное выступление в какую-либо сторону. Поэтому мы пошли сначала по длинному пути, а потом убедились в том, что и короткое тоже работает.
