Уравнение Навье — Стокса и гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера

В прошлый раз мы начали рассказывать про задачи тысячелетия — семь математических проблем, за решение каждой из которых Математический институт Клэя обещает миллион долларов США. Мы уже разобрали четыре из них, сегодня рассмотрим ещё две.

Уравнение Навье — Стокса

Это задача из гидродинамики — раздела физики, который изучает движение жидкостей и газа и их взаимодействие с твёрдыми телами. Уравнение Навье — Стокса описывает движение жидкости, и вывели его Анри Навье и Джордж Стокс независимо друг от друга в разное время, поэтому уравнение носит их общее имя.

Вот что нужно кратко разобрать для понимания, о чём речь:

Для решения этого не хватит, но за это мы не берёмся.

Производная показывает скорость роста функции и обозначается апострофом: x'. Чтоб посчитать производную, нужно умножить выражение на собственную степень, а саму степень уменьшить на 1. Например, (x2)' = 2 * x2-1 = 2x. Для производных суммы, разности и других выражений есть свои правила подсчёта, но для понимания задачи это необязательно.

Вот пример использования производной: допустим, каждый день мы читаем по одной главе из книги. Это стабильное движение, в котором ничего не меняется. Получается, что наша функция всегда равна тому числу, которое мы поставили изначально. Производная от постоянного равна 0, потому что роста нет:

Если мы читаем каждый день на одну главу больше, чем вчера, получается тоже стабильно, но есть скорость роста: 1, 2, 3, 4, 5 глав — и так постоянно. Скорость роста в нашем случае равна 1. Зная эту зависимость, можно прогнозировать, сколько глав мы будем читать в день через месяц, если поддерживать такой темп:

Если читать каждый день разное количество глав, то простым уравнением такое движение не задать. Но если у нас всё-таки получится, то можно будет посчитать от него производную и узнать, чему будет равен результат в какой-то момент в будущем.

Вот ещё два факта, которые понадобятся для понимания уравнения Навье — Стокса:

Дифференциал — это увеличение сложной функции на каком-то участке аргумента, если бы функция была простой, линейной. То есть это линейное приращение функции. Звучит непонятно, но вот посмотрите: у нас есть график функции — какая-то кривая красная линия. Мы её сильно упростили и построили зелёную прямую. Она проходит по касательной из любой нужной нам точки:

Δx (читается «дельта-икс») — это участок аргумента, на котором мы построили дифференциал аргумента dx и дифференциал функции dy. Конечно, линейное изменение dy мало похоже на реальное изменение Δy. Но если бы мы взяли участок Δx поменьше, то и разница была бы не такая большая. Иногда это важно, потому что позволяет упрощённо посчитать скорость роста, то есть упрощённую производную:

Δy/Δx = примерное значение производной функции f'(x)

Дифференциальные уравнения — это уравнения, которые, кроме функции, содержат её производные или дифференциалы. В нём будут обозначения вида y' или Δy и Δx. У дифференциального уравнения тоже есть порядок: он равен самому высокому порядку входящих в него производных. В отличие от уравнений, где мы ищем неизвестные, в дифференциальном нужно найти функцию.

Вот пример дифференциального уравнения. В него входят производные второго порядка и первого. Второго больше, поэтому всё уравнение тоже второго порядка:

Второй закон Ньютона звучит так:

Величина силы, действующая на тело, равна произведению массы тела на ускорение, которое получает тело, когда на него начинает действовать сила.

Это значит, что если какой-то объект движется с изменением скорости, то на него действует какая-то сила. Например, шарик катится по земле, замедляется и останавливается. Изменение в скорости вызвано силой гравитации и трения. То, что шарик вообще покатился, тоже вызвано внешней силой: это мы его подтолкнули. Так выглядит формула второго закона Ньютона:

В ней три составляющие:

Стрелочки над ускорением a и силой F означают, что у них есть направление — такие величины называются векторными.

Теперь перейдём к проблеме тысячелетия. Можно сказать, что уравнение Навье — Стокса — это как второй закон Ньютона, только в применении к несжимаемым вязким ньютоновским жидкостям с такими свойствами:

Примеры жидкостей разной вязкости — мёд, кленовый сироп, кукурузный сироп и жидкое мыло:

Если речь идёт о шарике или падающем с дерева яблоке, к ним отлично подходит второй закон Ньютона. Нам важна не их внутренняя структура, а только масса. В любой точке яблока или шарика скорость и ускорение будут одинаковыми.

Жидкость течёт неоднородно, давление и скорость в разных точках различаются:

Уравнение Навье — Стокса описывает движение жидкости в любых условиях. Это очень реалистичная сложная формула, поэтому в ней учитывается много деталей. Вместо простой формулы закона Ньютона получилось дифференциальное уравнение с двумя неизвестными функциями — каждая больше чем с одним аргументом. Математически правильно назвать его дифференциальным уравнением в частных производных.

Разбирать подробно уравнение этой задачи тысячелетия мы не станем, но выглядит оно так:

Неизвестные функции в уравнении — скорость и давление. Уравнение несжимаемости идёт отдельно — внизу после запятой.

Для решения задачи института Клэя нужно ответить на вопрос:

Если известно начальное состояние жидкости, есть ли решение для любого будущего момента времени?

Задача очень абстрактная, для неё даже не требуется явного решения. Просто сказать — да или нет. Ну и доказать, конечно.

Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера

Это задача из алгебраической геометрии про эллиптические кривые. Возможно, она самая сложная задача для понимания из всех в списке Института Клэя. Задача затрагивает и теорию чисел, и алгебраическую геометрию, и топологию, и даже модульную арифметику. Попробуем разобрать, что нужно для её понимания:

Степенью уравнения называют наивысшую степень неизвестного. Например:

График линейной функции от уравнения первой степени будет прямой линией:

Кривые, которые получаются от графиков квадратных уравнений, называются кониками. Они повторяют разрез конуса в разных местах, в результате чего образуются параболы, эллипсы, окружности и гиперболы:

Эллиптические кривые — это графики функций кубических уравнений одного определённого вида: y2 = x3 + ax + b. Этот вид уравнений называется уравнениями Вейерштрасса. Выглядеть они могут по-разному, например так:

Ещё раз: все эти кривые — на самом деле уравнения, поэтому у них есть корни. 

В теореме Бёрча — Свиннертон-Дайера много говорится конкретно про рациональные корни, поэтому быстро напомним, что это:

Когда говорят, что уравнение или кривая имеет бесконечное число рациональных точек или решений, имеют в виду, что для решения подходит бесконечное количество рациональных чисел.

Род и ранг кривой — ещё два понятия, которые нужны нам для теоремы. Сначала род. В прошлой статье мы немного рассказали про свойства трёхмерных фигур. Что нужно знать сейчас:

Гипотеза Морделла гласит: 

Род эллиптических кривых всегда равен 1. Это связано не с отверстиями на графике, а со связью между фигурами и кривыми. Важное и неочевидное следствие гипотезы Морделла состоит в том, что если мы знаем несколько рациональных корней такой эллиптической кривой, то можем найти все. 

Но у эллиптической кривой может не быть рациональных точек, такая вероятность тоже есть. Поэтому сложность в том, чтобы понять, что у кривой конечное количество рациональных точек. У эллиптических кривых есть важное свойство: если мы проведём на графике прямую, пересекающую кривую в двух рациональных точках, то третья точка пересечения тоже будет рациональной:

При этом необязательно, что для определения всех рациональных точек нам хватит только первых двух.

Ранг кривой — это количество необходимых известных рациональных точек для определения всех остальных. Но общего алгоритма для вычисления этого минимального количества нет.

Сравнение по модулю — самая сложная часть. Для анализа эллиптических кривых анализируют их решения через простые числа. Это сложный процесс, вот основной алгоритм и правила:

На этом месте остановимся. Мы подставили на место x настоящее число и подсчитали правую часть уравнения. От результата зависит, сколько решений имеет эллиптическая кривая для конкретного x (именно для него, а не для всего простого числа 5).

Если получилось, что y2 = 0, то у кривой есть одно решение. Тогда говорят, что для x = 0 есть одно решение по модулю 5.

Теперь допустим, что у нас получилось что-то другое. Например, для x = 2 получаем, что y2 = 3. Нужно проверить: возможно ли, что есть натуральное число от 0 до 4, которое при возведении в квадрат и делении на 5 (это наше простое число) даст тот же остаток, что и 3 при делении на 5? 

Математически это записывается так: y2 ≡ 3 (mod 5). Тройное равно означает «тождественно равно», а mod 5 — по модулю 5. Если выражение неверно, то для выбранного x решений нет. Если верно, то решениями будут все y, при которых это тождественное равенство выполняется.

Смотрим, что получается у нас. Проверяем правую часть: остаток от деления 3 на 5 равен 3. Теперь подставляем на место y числа от 0 до 4:

Ни одно число из списка не даёт тот же остаток, что 3, поэтому для x = 2 решений нет.

Когда мы прошли весь список от 0 до 4, нужно посчитать количество существующих решений. Это количество будет соответствовать одному простому числу — в нашем случае 5. Если проверить таким модульным анализом список простых чисел, например от 0 до 1 000 000, то можно составить таблицу, где под каждым простым числом будет количество решений для конкретного уравнения эллиптической кривой:

Вот в чём состоит открытие, которое сделали два английских математика Брайан Бёрч и Питер Свиннертон-Дайер. Если построить график, где по горизонтальной оси откладывать простые числа p, а по вертикальной — количество решений Np, то график будет выглядеть как набор точек, но примерный наклон этого графика равен рангу эллиптической кривой, над которой провели анализ по модулю:

Наклон на этом графике равен 1. Ранг кривой — тоже 1. Если на этом месте вам всё ещё хочется знать, что нужно доказать, то вам в Институт Клэя: 

Для решения нужно подтвердить или опровергнуть, что наклон графика анализа решений по модулю простых чисел всегда равен рангу кривой.

Что осталось

Осталась ещё одна задача в списке Института Клэя, которую мы не разобрали: теория Янга — Миллса. Это самая объёмная проблема, поэтому о ней расскажем в следующий раз.