Итак, настало время интересных задач со сложными условиями. Сразу к делу:
- На столе лежит 100 монет, 10 рядов по 10 монет в каждом.
- 10 монет из 100 лежат решкой вверх, а остальные 90 — орлом вверх.
- Где находятся эти 10 монет и как они расположены среди 100 — вы не знаете.
- На вас — маска, через которую ничего не видно, и перчатки, чтобы нельзя было на ощупь понять, какой стороной лежат монеты.
А теперь дьявольски хитрая задача: вам нужно сделать так, чтобы на столе получилось две группы монет, в каждой из которых будет одинаковое количество монет, лежащих решкой вверх. Ни маску, ни перчатки снимать при этом нельзя.
Главная проблема с этими монетами в том, что мы не знаем, где в квадрате располагаются монеты с решками. Если мы возьмём любое количество монет и просто передвинем их, создав вторую группу, то не факт, что угадаем с первого раза, будет ли во второй группе столько же монет с решкой, что и в первой. Для примера мы выберем случайные 5 монет, надеясь, что они все лежат решкой вверх, и просто передвинем их вправо, чтобы получилось две группы.
По условиям необязательно, чтобы количество монет в каждой группе было одинаковым, важно только одинаковое количество решек.
В этом случае вероятность успеха будет примерно равна 0,000003 — и это явно не тянет на стопроцентное решение, когда вероятность успеха равна единице.
Чтобы решить эту задачу, нам нужно мыслить нестандартно. В условиях не написано, что нам нельзя переворачивать монеты, — этим и воспользуемся. Теперь вопрос только в том, как перевернуть монеты и как разделить их на две группы так, чтобы везде получилось одинаковое количество решек.
Для решения нам нужно завести табличку, где мы будем учитывать количество монет в каждой группе, лежащих орлом и решкой вверх. На старте у нас только одна группа, где 10 решек и 90 орлов:
| Группа 1 | Группа 2 | ||
| Решка | Орёл | Решка | Орёл |
| 10 | 90 | ||
А вот само решение: нам нужно взять любые 10 монет из первой группы и перевернуть их все обратной стороной. Это и будет наша группа 2.
Сначала покажем на примере с четырьмя решками: возьмём из первой группы 10 монет, среди которых, например, 4 решки. Получится так:
| Группа 1 | Группа 2 | ||
| Решка | Орёл | Решка | Орёл |
| 6 | 84 | 4 | 6 |
Теперь переворачиваем все монеты во второй группе — и тогда орёл с решкой у нас меняются местами:
| Группа 1 | Группа 2 | ||
| Решка | Орёл | Решка | Орёл |
| 6 | 84 | 6 | 4 |
В итоге у нас в каждой группе одинаковое число монет, лежащих решкой вверх!
А что если мы случайно возьмём все 10 монет с решками во вторую группу? Давайте посмотрим. Вот ситуация после отбора:
| Группа 1 | Группа 2 | ||
| Решка | Орёл | Решка | Орёл |
| 0 | 90 | 10 | 0 |
И вот что будет после переворачивания:
| Группа 1 | Группа 2 | ||
| Решка | Орёл | Решка | Орёл |
| 0 | 90 | 0 | 10 |
В каждой группе у нас получилось одинаковое количество монет с решкой — ноль. По условию нам неважно количество монет в группах и сколько там орлов, мы смотрим только на решки.
Самое интересное, что это работает с любым количеством решек, которые мы случайно заберём из первой группы. Сейчас мы это докажем, следите за руками и вычислениями в табличке.
Исходное состояние — одна группа, 10 решек, 90 орлов:
| Группа 1 | Группа 2 | ||
| Решка | Орёл | Решка | Орёл |
| 10 | 90 | 0 | 0 |
Взяли 10 монет из первой группы, среди которых Х решек (неизвестное количество), и создали из этого группу 2. Это значит, что в первой группе у нас стало на Х меньше решек и на (10 − Х) — орлов, потому что всё, что не решка, это орёл:
| Группа 1 | Группа 2 | ||
| Решка | Орёл | Решка | Орёл |
| 10 − Х | 90 − (10 − Х) | Х | 10 − Х |
Теперь переворачиваем все монеты во второй группе, проще говоря — меняем местами количество орлов и решек:
| Группа 1 | Группа 2 | ||
| Решка | Орёл | Решка | Орёл |
| 10 − Х | 90 − (10 − Х) | 10 − Х | Х |
В итоге мы видим, что в обеих группах количество решек получилось одинаковым, сколько бы нам ни попалось их изначально при выборе тех 10 монет.
Если хотите перейти на следующий уровень, подумайте, каким будет решение, если у нас изначально не 10, а 20 монет с решками, а решением поделитесь в комментариях.
