Золотая задача по математике для гениев

Начнём решение с того, что вспомним свойство степени:

если возвести в любую степень положительное число, оно всегда будет больше нуля.

Теперь используем это для начала решения — разделим обе части на 9^х:

В числителе слева у нас слагаемое — и по правилам математики мы можем представить эту часть дроби как сумму двух отдельных дробей с одинаковым знаменателем:

Первая дробь даёт единицу — потому что делим число само на себя:

Во второй дроби обе части можно разделить на 3 — оно не равно нулю, поэтому так делать можно:

А вот с правой части равенства уже интереснее: тут и в числитель, и в знаменатель входят квадраты: 16 = 4² и 9 = 3². Это значит, что квадраты можно вынести отдельно, а потом и сам квадрат вынести к иксу:

Вот что у нас в итоге получилось:

Теперь обозначим (4 / 3)^х как u и воспользуемся другим замечательным свойством степеней:

a^xy = (a^x)^y

В итоге получаем простое квадратное уравнение, которое вполне можно решить со знаниями из седьмого класса школы:

Решаем:

u² − u − 1 = 0

находим u в общем виде через дискриминант: [1 ± √(1 + 4)] / 2 = (1 ± √5) / 2

Теперь разберёмся с тем, подходят ли нам оба варианта (где плюс и минус) или нет.

Корень из 5 чуть больше двух, значит если его вычесть из единицы (и разделить на два потом результат), то мы получим отрицательное число. Но мы помним, что u — это (4 / 3)^х, а положительное число в любой степени не может быть меньше нуля. Поэтому вариант с минусом мы отбрасываем.

Итак, u = (1 + √5) / 2, а это значит, что (4 / 3)^х = (1 + √5) / 2.

Чтобы решить такое, воспользуемся логарифмами и возьмём натуральные от обеих частей — они как раз нужны, кроме прочего, для работы со степенями:

ln(4 / 3)^х = ln((1 + √5) / 2)

По свойствам логарифмов перенесём икс из степени слева в начало логарифмической записи. Чтобы не захламлять крестиками выражение, используем интерпункт вместо знака умножения:

х · ln(4 / 3) = ln((1 + √5) / 2)

Теперь решаем это уравнение, чтобы найти икс:

В принципе с точки зрения математики этого уже достаточно, чтобы считаться ответом. Но если нужна точность — держите:

х ≈ 1,673.

Держите забавный факт, как говорится джаст фо фан:

В математике и геометрии есть такая штука — золотое сечение. Оно появляется, если разделить отрезок на две части так, чтобы отношение бо́льшей части того, что получилось, к общей длине равнялось отношениям двух новых частей между собой.

А (1 + √5) / 2 — это число, известное как то самое золотое сечение (обозначается греческой буквой φ — «фи»). Его приблизительное числовое значение равно 1,6180339.