Простая задача про круги, которая выглядит сложной

Но на деле она точно простая.

Простая задача про круги, которая выглядит сложной

Разберём свежую задачу с канала MindYourDecisions. Это не про программирование, но развивает логическое мышление. 

Дано: есть три одинаковых круга с диаметром в 1 метр. Круги соприкасаются друг с другом, а вокруг них натянута эластичная лента. 

Что нужно: найти длину этой ленты.

Простая задача про круги, которая выглядит сложной

Кажется, что это очень сложная задача, где нужно знать сложные формулы расчёта кривизны и точек натяжения, но на деле всё будет гораздо проще. Если знаете английский — посмотрите оригинальный ролик, там классная анимация:

Строим внутренний треугольник

Первое, что мы сделаем, — соединим центры всех кругов в один треугольник:

Простая задача про круги, которая выглядит сложной

В геометрии есть такое правило, что если круги касаются друг друга, то через их центры можно провести прямую линию, и точка касания кругов будет лежать на этой линии. Раз у нас диаметр равен 1, то радиус каждого круга равен 0,5. Обозначим это на рисунке:

Простая задача про круги, которая выглядит сложной

Получается, что длина каждой стороны треугольника равна 0,5 + 0,5 = 1.  Запомним это и идём дальше.

Строим проекцию

От каждой вершины треугольника проведём под прямым углом линии к ленте:

Простая задача про круги, которая выглядит сложной

Получились прямоугольники. У прямоугольников противоположные стороны равны, поэтому раз стороны треугольника равны единице, то и эти отрезки на ленте тоже будут равны единице:

Простая задача про круги, которая выглядит сложной

Осталось найти длину оставшихся секций:

Простая задача про круги, которая выглядит сложной

Вычисляем длину секций

Здесь нам поможет знание о том, что полный оборот внутри круга — это 360 градусов. 

Так как во внутреннем треугольнике все стороны равны, то это равносторонний треугольник. А раз так, то углы в нём равны 60 градусов. Добавим сюда по два прямых угла по 90 градусов из прямоугольников:

Простая задача про круги, которая выглядит сложной

Решаем уравнение: 90 + 60 + 90 + X = 360 → X = 120 градусов.

Но 120 градусов — это ровно треть круга, а у нас таких частей как раз три:

Простая задача про круги, которая выглядит сложной

Это значит, что из них можно составить один целый круг. При этом мы знаем, что у этого круга радиус 0,5, а диаметр тогда равен единице. Этого достаточно, чтобы посчитать длину окружности:  L = π × d → L = 3,14.

Складываем это число с длинами трёх отрезков и получаем полную длину: 3 + π

Простая задача про круги, которая выглядит сложной

Текст и иллюстрации:

Михаил Полянин

Художник:

Даня Берковский

Корректор:

Ирина Михеева

Вёрстка:

Кирилл Климентьев

Вам может быть интересно
Задача про бейсбольную биту
Задача про бейсбольную биту

Эта задача решается не так просто, как кажется.

easy
Андрюха, бензин и Игра престолов
Андрюха, бензин и Игра престолов

Программистская задача с математическим уклоном.

easy
Задача про персональные данные
Задача про персональные данные

Настоящая задача XXI века.

medium
Коктейльная задача про доли и крепость
Коктейльная задача про доли и крепость

Ну, будем!

easy
Логическая задача про часы, которую почему-то не могут решить старшеклассники
Логическая задача про часы, которую почему-то не могут решить старшеклассники

Хотя там нет ничего сложного

easy
Непростая задача про диагональ квадрата
Непростая задача про диагональ квадрата

Для решения нужно выйти за рамки

easy
Задача про тест на собеседовании
Задача про тест на собеседовании

Пришёл программист на собеседование, и началось.

medium
Задача про блины, которую обсуждают всем интернетом
Задача про блины, которую обсуждают всем интернетом

И да, там есть ошибка :-)

hard
Что не так с задачей про степени, которую нужно РЕШИТЬ УСТНО, и как она всё-таки решается
Что не так с задачей про степени, которую нужно РЕШИТЬ УСТНО, и как она всё-таки решается

Безумный мир странных вычислений

easy
easy