Задача про бейсбольную биту

Бейс­боль­ная бита и мяч вме­сте сто­ят 11 руб­лей, при­чём бита доро­же мяча на 10 руб­лей. Сколь­ко сто­ит мяч?

И что за ад в реше­нии?

Решение

Для реше­ния этой зада­чи нам пона­до­бят­ся две неиз­вест­ных — X и Y, кото­рые будут обо­зна­чать сто­и­мость биты и мяча соот­вет­ствен­но. Кро­ме это­го, отдель­но отме­тим поло­жи­тель­ное свой­ство каж­дой пере­мен­ной, пото­му что свой­ство цены воз­ни­ка­ет толь­ко при нену­ле­вой сто­и­мо­сти пред­ме­тов:

X > 0

Y > 0

Так­же мы будем исполь­зо­вать свой­ство ком­му­та­тив­но­сти при сло­же­нии: при пере­ста­нов­ке сла­га­е­мых сум­ма не меня­ет­ся. Это поз­во­лит нам отой­ти от жёст­ких рамок усло­вия, в кото­ром сна­ча­ла идёт бита, а потом мяч. Теперь мы можем скла­ды­вать их сто­и­мость в любом поряд­ке.

Теперь запи­шем всё, что есть в усло­вии, в виде мате­ма­ти­че­ских фор­мул.

Пер­вое пред­ло­же­ние будет выгля­деть так: X + Y = 11. А вто­рое — вот так: X – Y = 10.

На этом эта­пе нам при­го­дит­ся такое поня­тие, как систе­ма урав­не­ний — усло­вие, состо­я­щее в одно­вре­мен­ном выпол­не­нии несколь­ких урав­не­ний отно­си­тель­но несколь­ких (или одной) пере­мен­ных. Про­ще гово­ря, если решить систе­му урав­не­ний, то мож­но узнать зна­че­ния всех неиз­вест­ных, кото­рые вхо­дят в эту систе­му. Но для это­го нуж­но, что­бы коли­че­ство неиз­вест­ных было не боль­ше, чем коли­че­ство урав­не­ний в систе­ме. Соста­вим систе­му и про­ве­рим это тре­бо­ва­ние:

X + Y = 11

X – Y = 10

Коли­че­ство пере­мен­ных: 2.

Коли­че­ство урав­не­ний в систе­ме: 2.

Так как 2 не боль­ше 2, то, сле­до­ва­тель­но, это тре­бо­ва­ние выпол­ня­ет­ся, и систе­ма име­ет по край­ней мере хотя бы одно реше­ние.

Для реше­ния исполь­зу­ем пра­ви­ло пере­но­са сла­га­е­мо­го из одной части равен­ства в дру­гую. Оно гово­рит о том, что мож­но пере­но­сить сла­га­е­мые из одной части равен­ства в дру­гую, если заме­нить их знак на про­ти­во­по­лож­ный. Убе­дить­ся в том, что пра­ви­ло при­ме­ни­мо и у нас имен­но равен­ство, мож­но по зна­ку «рав­но» в каж­дом урав­не­нии систе­мы.

Исполь­зу­ем пра­ви­ло пере­но­са сла­га­е­мо­го для вто­ро­го урав­не­ния:

X – Y = 10 → X = 10 + Y

Теперь мы зна­ем, как выра­зить X через Y, поэто­му под­ста­вим най­ден­ное равен­ство в пер­вое урав­не­ние систе­мы. Полу­ча­ем:

X + Y = 11 → 10 + Y + Y = 11

Сно­ва исполь­зу­ем пра­ви­ло пере­но­са и оста­вим в одной части толь­ко неиз­вест­ную, а в дру­гой — толь­ко чис­ла:

10 + Y + Y = 11 → Y + Y = 11 – 10

Сло­жим всё в левой части и отни­мем в пра­вой:

Y + Y = 11 – 10 → 2 * Y = 1

Раз­де­лим обе части равен­ства на 2, что­бы изба­вить­ся от двух игре­ков:

2 * Y = 1 → Y = 0,5

Если помни­те, мы обо­зна­чи­ли за Y сто­и­мость мяча и теперь выяс­ни­ли, что она рав­на 0,5 руб­ля или 50 копей­кам. Оста­лось най­ти сто­и­мость биты. Для это­го под­ста­вим най­ден­ное зна­че­ние Y в пер­вое урав­не­ние:

X + Y = 11 → X + 0,5 = 11

Послед­ний раз исполь­зу­ем пра­ви­ло пере­но­са, что­бы най­ти X:

X + 0,5 = 11 → X = 11 – 0,5 → X = 10,5

Полу­ча­ет­ся, что бита сто­ит 10 с поло­ви­ной руб­лей. Про­ве­рим най­ден­ные чис­ла на самое пер­вое усло­вие о нену­ле­вой сто­и­мо­сти:

X = 10,5 → 10,5 > 0 Y = 0,5 → 0,5 > 0

Усло­вие выпол­ня­ет­ся, сле­до­ва­тель­но, мы реши­ли зада­чу вер­но.

Вы дочи­та­ли до кон­ца? У нас есть гипо­те­за, что эту зада­чу мож­но решить гораз­до про­ще, но как? Помо­ги­те нам!