Крутейшие задачи на комбинаторику

Сначала кажется, что решить задачу нереально — мышей в 100 раз меньше, чем пробирок. Значит, нам нужно как-то научиться быстро сокращать количество элементов, которые нужно проверить.

Мы знаем, что даже капля яда убьёт мышь за сутки. Значит, если мы смешаем эту каплю с настоящим лекарством, яд тоже сработает. Воспользуемся этим так:

Разделим все пробирки на равные группы — по 100 пробирок в каждой.

В каждой группе возьмём по капле из каждой пробирки и смешаем их. Получим 10 смесей, одна из которых отравлена, и дадим каждой мыши свою смесь. Через сутки мы увидим, какой грызун погиб, и поймём, где конкретно был яд.

Теперь у нас осталось 100 пробирок и девять мышей. Видите, мы за сутки сократили количество пробирок в 10 раз. Будем использовать этот же приём и дальше: делить сосуды на равные группы и делать смеси. На второй день разделим 100 пробирок на девять групп:

Восемь групп по 11 пробирок и одна группа из 12 пробирок.

Как видите, на совсем равные части поделить не получилось, но это не критично — задача всё равно решается. Теперь даём смеси мышам и через сутки смотрим, какое животное погибнет на этот раз.

Предположим самый сложный случай — яд был в смеси из 12 пробирок. У нас остаётся восемь мышей и 12 пробирок. Их тоже делим на восемь групп:

Четыре группы по две пробирки и четыре группы по одной пробирке.

Снова даём вещество мышам и через сутки смотрим на результат. Если погибла особь, которая пила только из одной пробирки, — то она и была отравлена, а значит, мы нашли яд за три дня. Если эта мышь дегустировала смесь из двух сосудов, то на следующий день мы берём эти две пробирки, две мыши из тех, что остались, и обеим даём попробовать своё лекарство. Через сутки узнаем, где был яд.

В итоге за три или за четыре дня мы точно сможем сказать, какая пробирка в партии была перепутана.

Ответ: максимум за четыре дня мы найдём яд.

Назовём каждую батарейку отдельной буквой — А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З. Это позволит нам не перепутать батарейки, когда мы будем менять их местами.

Теперь разобьём батарейки на пары и проверим в фонарике каждую из них:

(А Б) (В Г) (Д Е) (Ж З) — это четыре первые пары.

Если фонарик заработал на какой-то из них — отлично, мы нашли нужную пару.

Если лампочка так и не загорелась, значит, в каждой паре у нас оказалась одна хорошая батарейка и одна плохая. Давайте подумаем, почему.

Если бы в одной паре было две нерабочие батарейки, то на остальные три пары приходилось бы две нерабочие и четыре рабочие батарейки. Неизбежно одна из пар подобралась бы с двумя рабочими батарейками.

Следовательно, раз ни одна из пар не включила фонарь, в любой из них есть одна рабочая и одна нерабочая батарейка.

Теперь возьмём любые две пары — например (А Б) и (В Г) — и поменяем в них первые батарейки местами. Получим:

(В Б) и (А Г) — в этот момент мы проверили уже шесть пар.

Если фонарик не заработал и после этой перестановки, значит, мы поменяли местами одинаковые батарейки: хорошую заменили на хорошую или плохую — на плохую. Выходит, нужно взять вторую батарейку из первой пары и поменять её с первой батарейкой из второй пары:

Берём пару (В Б), достаём оттуда вторую батарейку Б и ставим её на первое место в паре (А Г), получаем (Б Г) — это седьмая пара.

Если фонарик загорелся, значит, второй мы поставили хорошую батарейку. Если фонарик всё ещё не светит, получается, в этой паре у нас две плохих батарейки, а две хороших остались в другой — (В А). Ставим их в фонарик, и готово!

Получается, что нам понадобится проверить максимум 7 пар.

Для одной пары

Давайте возьмём самый неудачный случай и каждый раз будем вытаскивать носок нового цвета. Например, мы сначала вытягиваем жёлтый носок, затем красный, потом синий и чёрный. Получилось четыре экземпляра без пары, в них на улицу не уйдёшь.

А теперь какой бы носок мы ни вытащили следующим, его цвет в любом случае совпадёт с тем, что у нас уже есть в руках. Например, пятым оказался жёлтый — а он у нас уже есть. Всё, пара готова, мы направляемся к выходу, и для этого нам потребовалось вытащить максимально пять носков. Это было легко.

Для двух пар

Две пары могут быть разного цвета — давайте это учтём при решении.

В первой части мы нашли комплект за пять попыток. В итоге у нас есть одна пара жёлтых носков и три одиноких носка: синий, красный и чёрный. Давайте подберём пару к ним.

Снова рассмотрим вариант, когда всё идёт не так быстро, как бы нам хотелось. Допустим, шестой носок, который мы вытащили, — опять жёлтый. Теперь у нас снова четыре предмета разного цвета, как в первом примере. Поэтому мы уже знаем, что любой следующий носок даст нам пару, а значит, для двух пар понадобится максимально семь попыток.

На удивление, эта задача решается простым алгоритмом с элементами перебора: берём высказывание первого свидетеля, предполагаем, что первая часть верная, а вторая — нет. После этого проверяем, насколько это совпадает с остальными условиями задачи и высказываниями других свидетелей.

1-й вариант: допустим, первый свидетель сказал правду про цвет, но наврал про марку. Получается, что цвет машины — синий, и это точно не «Жигули».

Тогда второй свидетель, который сказал про чёрную «Волгу», наврал про цвет, а это значит, что про марку он сказал правду. Получается, что машина была — синяя «Волга».

Теперь проверим показания третьего свидетеля. Он тоже один раз сказал правду, но его ответ был — «точно не синий „Мерседес“». Выходит, что он наврал и про цвет, и про марку, а по условиям задачи такого не может быть: каждый хоть раз сказал правду.

Получается, что первый свидетель наврал про цвет, а значит, про марку он сказал правду. Проверим это.

2-й вариант: допустим, первый свидетель сказал правду про марку — «Жигули», но наврал про цвет. Получается, что у нас есть «Жигули» точно не синего цвета.

Второй свидетель сказал, что это была чёрная «Волга», но мы уже поняли, что это были «Жигули», а значит, второй наврал про марку и сказал правду про цвет. А цвет у второго свидетеля — чёрный. Получились чёрные «Жигули». Проверим показания третьего.

Третий свидетель сказал, что это был «точно не синий „Мерседес“», но мы-то уже знаем про «Жигули», поэтому третий с маркой тоже наврал. А про цвет он как раз сказал правду: не синий — это тоже может быть чёрный.

Всё сходится: преступники уехали на чёрных «Жигулях». Хотя лучше бы на «Мерседесе».

Суть решения сводится к следующему: мы шаг за шагом будем брать данные из условий, чтобы найти неизвестные пока значения, а все результаты вписывать в такую таблицу:

Затем мы будем брать новые результаты, смотреть, как их можно совместить с условиями, также занесём в таблицу и станем так делать до тех пор, пока не заполним все ячейки.

Разбираемся с первым домом

В п. 10 явно сказано, что норвежец живёт в первом доме, а если добавить сюда п. 15 (норвежец живёт рядом с синим домом), то становится понятно, что второй дом — синий.

Теперь разберёмся с цветом первого дома. Мы уже знаем, что рядом с первым домом стоит синий дом, а значит это единственный дом, который стоит рядом с первым. Из пункта 6 (зелёный дом стоит сразу справа от белого дома) следует, что первый дом не может быть зелёным или белым — зелёный и белый должны стоять рядом, а у нас рядом с первым домом стоит синий. Остаются красный или жёлтый. Но в красном доме живёт англичанин — так написано в п. 2, поэтому остаётся только жёлтый. Первый дом — жёлтый.

Смотрим, что говорят нам условия задачи про жёлтый дом:

п. 8 — в жёлтом доме майнят Ethereum;

п. 12 — в доме по соседству с тем, в котором держат лошадь, майнят Ethereum.

Но у нас рядом с домом, где майнят Ethereum, стоит только второй дом, поэтому лошадь держат во втором доме.

Переходим к напиткам. Мы уже знаем, что в первом жёлтом доме живёт норвежец, который майнит Ethereum. Вот как это влияет на условия:

Поэтому единственное, что остаётся пить норвежцу, — это вода. Отлично, мы нашли ответ на первый вопрос. Не забудем занести всю найденную информацию в таблицу:

Всё о втором доме

Начнём с криптовалюты.

Мы точно знаем, что это не Ethereum, потому что её майнит норвежец в первом доме. А ещё, раз у жильца синего дома есть лошадь, то он точно не майнит Bitcoin — в п. 7 написано, что тот, кто майнит Bitcoin, разводит улиток. Давайте поработаем с предположениями и проверим, насколько верное каждое из них.

Допустим, что во втором доме майнят IOTA. По п. 13 (тот, кто майнит IOTA, пьёт апельсиновый сок) жилец пьёт апельсиновый сок, а это значит, что тут живёт не украинец, потому что он пьёт чай (п. 5). Это также не англичанин, который живёт в красном доме (п. 2), и не испанец, потому что по п. 3 у испанца есть собака. Японец тоже тут жить не может, потому что по п. 14 японец майнит Monero, а не IOTA. Норвежец же, напомним, живёт в первом доме. Получается, что во втором доме никто не живёт, а такого не может быть, следовательно, наше предположение, что во втором доме майнят IOTA, неверное.

Идём дальше и предположим, что во втором доме майнят Monero, а значит, из п. 14 видно, что тут живёт японец (японец майнит Monero). Поэтому во втором доме не пьют чай, потому что чай пьёт украинец (п. 5), не пьют кофе, потому что кофе пьют в зелёном доме (п. 4). А ещё здесь не пьют молоко — молоко пьют в третьем доме (п. 9), и не пьют апельсиновый сок, потому что сок пьёт любитель IOTA (п. 13). А раз вода уже занята норвежцем, то получается, что во втором доме ничего не пьют. Такого не может быть, а значит, наше предположение, что во втором доме майнят Monero, неверное. Мы выяснили, что там не майнят Ethereum, Bitcoin, IOTA и Monero. Остаётся только Stellar — её и майнят во втором доме.

Давайте выясним национальность, зная название криптовалюты. Это не англичанин, который живёт в красном доме (п. 2), и не испанец с собакой (п. 3), потому что во втором доме держат лошадь. Ещё это не японец, который майнит Monero (п. 14), и не норвежец из первого дома. Получается, что во втором доме живёт украинец, а согласно п. 5 украинец пьёт чай.

Занесём новые данные в таблицу:

Где живёт лиса

Исходя из п. 11 (сосед того, кто майнит Stellar, держит лису), мы понимаем, что раз Stellar майнят во втором доме, то лиса живёт или в первом, или в третьем доме.

Допустим, что лиса — в третьем доме. Теперь делаем внезапный поворот и зададимся вопросом: а что тогда пьёт человек из п. 7, который разводит улиток и майнит Bitcoin? Он не пьёт сок, потому что сок пьёт любитель IOTA (п. 13), и молоко — его пьют в третьем доме, где, как мы предполагаем, держат лису. Вода и чай уже заняты на предыдущих этапах. Остаётся только кофе, который пьют в зелёном доме (п. 4).

А раз так, то получается, что в зелёном доме живёт человек, который разводит улиток, майнит Bitcoin и пьёт кофе. Он точно не норвежец или украинец — мы это выяснили раньше. И это точно не англичанин, который живёт в красном доме (п. 2), не испанец, у которого собака (п. 3), и не японец, который майнит Monero (п. 14). Мы исключили все национальности, а такого не может быть, поэтому наше исходное предположение о том, что лиса живёт в третьем доме — неверное.

Получается, что лиса живёт в первом доме. Добавим это в табличку:

Третий дом

У нас осталось два свободных напитка — кофе и апельсиновый сок, которые пьют в четвёртом и пятом доме.

Тот, кто майнит Bitcoin и разводит улиток, не живёт в доме, где пьют сок, потому что его пьёт любитель IOTA (п. 13). Значит, делаем предположение, что любитель улиток живёт в доме, где пьют кофе, а по п. 4 кофе пьют в зелёном доме. А мы только что разобрали в разделе про лису именно ту ситуацию, когда жилец зелёного дома разводит улиток и пьёт кофе. Тогда мы пришли к выводу, что это невозможно, а значит, любитель улиток не может пить кофе или сок, поэтому он не живёт в четвёртом или пятом доме.

Получается, что любитель улиток, который майнит Bitcoin, живёт в третьем доме.

Четвёртый и пятый дома

В зелёном доме пьют кофе (п. 4), а любитель IOTA пьёт сок (п. 13), поэтому он не может жить в зелёном доме. Получается, что в зелёном доме майнят Monero, а раз так, то это — японец (п. 14).

Это означает, что в оставшемся доме пьют сок и майнят IOTA, и дом этот на 3-м или на 4-м месте (по п. 6 — зелёный дом стоит сразу справа от белого дома). Допустим, в третьем доме живёт испанец, у которого должна быть собака (п. 3), но в таблице в третьем доме уже есть улитки, а значит, испанец с собакой живёт в четвёртом доме, и как раз именно он пьёт сок и майнит IOTA.

Третий дом методом исключения остаётся англичанину, а это значит, что третий дом — красный (п. 2). Получается, что у испанца белый дом.

Запишем всё в таблицу:

Зебра

У нас осталась одна незаполненная клетка в таблице, которая тоже методом исключения достаётся зебре.

Теперь мы можем ответить на вопросы по задаче: воду пьёт норвежец, а зебру держит японец.