Однажды программист устраивался на работу, где ему предложили самому выбрать себе зарплату. Но сделали это хитро, так, чтобы сразу проверить его профпригодность: дали на выбор два конверта.
В каждом конверте лежат листочки с «офферами» — это документ, где написано предложение с должностью, условиями работы и зарплатой. Два конверта — два «оффера». Конверты запечатаны.
В одном оффере денег в два раза больше, чем в другом, но никто не знает, где какая сумма. Программисту можно открыть один конверт, прочитать оффер и решить — оставить этот конверт или выбрать другой. Подскажите программисту, что лучше — оставить этот, выбрать другой или без разницы?
Решение обычного человека
Если рассуждать с позиции простого здравого смысла, решение будет таким: игнорируем эти тупые игры, открываем оба конверта, и если среди них есть здравый оффер — соглашаемся, а нет — до свидания. Ишь чего вздумали!
Можно ещё сказать: «Мне не подходят оба оффера, но если вы готовы предложить мне сумму этих двух офферов, позвоните. Мой номер — произведение первых 10 простых чисел...»
Но можно подойти к решению с точки зрения математики и статистики.
Решение программиста
Чтобы узнать правильный ответ, нам понадобится математическое ожидание — мы уже рассказывали про него в задаче про футболиста.
Допустим, что программист выбрал один конверт и обнаружил в нём оффер на Х рублей. Значит, в другом конверте будет оффер либо на 0,5Х рублей, либо на 2Х рублей.
Посчитаем математическое ожидание при выборе того или иного решения. Вероятность нахождения большей или меньшей суммы одинаково и равно 50% или 0,5. Значит, если в конверте лежит 0,5Х рублей, матожидание для него будет равно 0,5Х × 0,5 = 0,25Х. А если там лежит 2Х рублей, то математическое ожидание будет такое: 2Х × 0,5 = Х.
Теперь сложим эти числа, чтобы узнать общее матожидание, если мы выберем другой конверт вместо открытого: 0,25Х + Х = 1,25Х.
В открытом конверте у нас всегда оффер на Х рублей. 1,25X > X, поэтому, с точки зрения математики, выгоднее выбрать второй конверт, так как суммарная вероятность получить больше денег будет выше.
Также важно помнить, что мы говорим о математическом ожидании и статистике: всё это работает на сотнях и тысячах конвертов, если усреднить результат. В отдельном конкретном случае это рассуждение не имеет смысла.
От редакции:
Парадокс задачи про конверты в том, что шанс вытянуть большую или маленькую зарплату равен 50% только до выбора и открытия первого конверта. Как только человек открывает первый конверт, вероятность меньшей зарплаты во втором конверте сразу равна либо 100%, либо 0%, потому что там тоже лежит конкретная сумма, которая не поменяется от выбора человека. Поэтому в этот момент уже некорректно говорить о том, что шанс вытянуть конверт с суммой побольше или поменьше — 50%.
Но человек не может заранее знать, где какая сумма, и объективно для него во втором конверте может быть как зарплата побольше, так и поменьше — с одинаковой вероятностью ошибиться. Именно из-за этого незнания и существует этот парадокс двух конвертов.
