Сегодня рассмотрим одну из самых ненавистных, алгоритмически неочевидных и вместе с тем простых в решении задач — классическую задачу на смешивание. Это программа собеседований и школьных олимпиад.
Условия:
- В продуктовый магазин привезли два пакета — с орехами и сухофруктами.
- Продавец ссыпал всё в один пакет и перемешал.
- Продавец сложил стоимость привезённых орехов с сухофруктами и поделил на общий вес в 32 килограмма. Получилась цена смеси в 285 рублей за килограмм.
- Вскоре накладные на товар потерялись, и мы больше не знаем, сколько килограмм было в каждом пакете по отдельности.
- Но мы знаем стоимость предыдущих поставок: 300 рублей за килограмм орехов и 240 за кило сухофруктов.
Задача: узнать вес привезённых пакетов с орехами и сухофруктами, чтобы поставить их на учёт.
Начнём с того, что у нас есть: посчитаем общую стоимость смеси, которая получилась в итоге.
32 килограмма × 285 рублей/кг = 9120 рублей.
Теперь неинтуитивная часть. Находить решение задачи мы будем через разницы стоимостей каждого из компонентов смеси. Сначала мы поймём, сколько стоила бы смесь, если бы в ней были только орехи или только сухофрукты. И потом через разницу сможем установить всё, что нужно.
Если бы вся смесь была только из сухофруктов по 240 рублей за кило, то она бы стоила:
32 килограмма × 240 рублей/кг = 7680 рублей.
Но наша смесь стоит дороже, потому что в ней есть орехи. Из-за того, что к сухофруктам добавили дорогие орехи, они стали стоить на 9120 − 7680 = 1440 рублей. Это общая разница в стоимости между итоговой смесью и одними сухофруктами.
Разница между стоимостью одного килограмма орехов и сухофруктов = 300 − 240 = 60 рублей. Другими словами, каждый килограмм орехов в этой смеси делал бы ее стоимость на 60 рублей больше. Если бы мы взяли 31 кг сухофруктов и 1 кг орехов, то общая стоимость была бы 7680 + 60 рублей. Если бы мы взяли 30 кг сухофруктов и 2 кг орехов, то 7680 + 120 рублей.
Если продолжить так добавлять орехи, то в какой-то момент разница в стоимости станет 1440 рублей — именно эту разницу мы вычислили чуть выше. Осталось понять, сколько раз нужно «подсыпать» орехов в эту смесь, чтобы получить такую стоимость:
1440 / 60 = 24 килограмма.
А раз вся смесь весит 32 килограмма, легко посчитать вес оставшихся сухофруктов: 32 – 24 = 8 килограмм.
Настоящий кладовщик всегда проверит расчёты, поэтому сделаем как кладовщик:
24 × 300 = 7200 рублей — столько стоят орехи в смеси;
8 × 240 = 1920 рублей — столько стоят сухофрукты в смеси.
Итого: 7200 + 1920 = 9120 рублей — общая стоимость, всё сходится.
