Задача про ниндзя и разведчика

Отряд нин­дзя неза­мет­но подо­брал­ся к горо­ду на рас­сто­я­ние 30 км. В горо­де нет ни элек­три­че­ства, ни связи.

Захват­чи­ков слу­чай­но заме­ча­ет город­ской сто­рож. Он реша­ет­ся на марш-бросок по парал­лель­ной доро­ге, что­бы пре­ду­пре­дить город­ские власти. 

При­быв в город, сто­рож докла­ды­ва­ет о ситу­а­ции и полу­ча­ет при­каз: бежать обрат­но, посмот­реть рас­по­ло­же­ние отря­да нин­дзя и сно­ва доло­жить о ситу­а­ции. Так нуж­но бегать до тех пор, пока нин­дзя вплот­ную не подой­дут к городу. 

Отряд нин­дзя пере­дви­гал­ся со ско­ро­стью 4 км/ч. Сто­рож, не жалея себя, всю дистан­цию бегал со ско­ро­стью 6 км/ч — его уси­лия оправ­да­лись и ата­ка была отбита.

👉 Вопрос: сколь­ко кило­мет­ров про­бе­жал сто­рож, пока он бегал туда-сюда?

Подсказка

Нач­ни­те рас­суж­де­ние с про­сто­го рисун­ка, на кото­ром схе­ма­ти­че­ски изоб­ра­зи­те рас­по­ло­же­ние участ­ни­ков и поря­док их пере­ме­ще­ния по отно­ше­нию друг к дру­гу. После собе­ри­те доступ­ные дан­ные и попро­буй­те их при­вя­зать к извест­ной мате­ма­ти­че­ской закономерности. 

Решение

Отряд нин­дзя и сто­рож нахо­ди­лись в посто­ян­ном дви­же­нии, меняя рас­сто­я­ние меж­ду горо­дом и друг дру­гом. Что­бы ниче­го не упу­стить, будем схе­ма­ти­че­ски отоб­ра­жать пере­ме­ще­ния сто­рон и парал­лель­но делать расчёты. 

Шаг №1. Отряд нин­дзя и сто­рож нахо­дят­ся в 30 км от горо­да — это исход­ная точ­ка, с кото­рой начи­на­ет­ся рас­чёт. Сто­рож заме­ча­ет захват­чи­ков и со ско­ро­стью 6 км/ч направ­ля­ет­ся к горо­ду — так он про­бе­га­ет пер­вые 30 км.

Задача про ниндзя и разведчика Исход­ная пози­ция, рас­сто­я­ние и ско­рость сторон 

Шаг №2. Сто­рож бежит с посто­ян­ной ско­ро­стью, и поэто­му мы можем узнать, за какое вре­мя он пре­одо­ле­ет всю дистан­цию. Делим рас­сто­я­ние на скорость: 

30 км ÷ 6 км/ч = 5 часов 

За 5 часов сто­рож добе­га­ет до горо­да и докла­ды­ва­ет об отря­де ниндзя. 

Шаг №3. Нам извест­но, что отряд нин­дзя дви­га­ет­ся со ско­ро­стью 4 км/ч и сколь­ко вре­ме­ни сто­рож доби­рал­ся до горо­да. По этим дан­ным мож­но посчи­тать, насколь­ко нин­дзя при­бли­зи­лись к горо­ду, когда сто­рож доло­жил об атаке: 

4 км/ч × 5 ч = 20 км 

Когда сто­рож закон­чил пер­вый марш-бросок, нин­дзя про­шли боль­шую часть пути и при­бли­зи­лись к горо­ду на 20 км. Оста­лось пре­одо­леть 10 км.

Задача про ниндзя и разведчика Рас­по­ло­же­ние сто­рон спу­стя пять часов 

Шаг №4. Через 5 часов сто­рож отправ­ля­ет­ся на вто­рой марш-бросок: из горо­да к рас­по­ло­же­нию отря­да нин­дзя. Сто­ро­ны дви­га­ют­ся навстре­чу друг дру­гу, и поэто­му мы можем рас­счи­тать ско­рость сбли­же­ния и вре­мя встре­чи в одной точке: 

6 км/ч + 4 км/ч = 10 км/час — ско­рость сбли­же­ния сторон

10 км/ч ÷ 10 км = 1 час — вре­мя встре­чи в одной точке 

После встре­чи с отря­дом нин­дзя сто­рож раз­вер­нул­ся и сра­зу побе­жал обрат­но в город: один час он бежал в одну сто­ро­ну и ещё один час — в другую. 

2 ч × 6 км/ч = 12 км 

Нин­дзя за два часа про­шли 8 км и до горо­да им оста­ва­лось 2 км.

Задача про ниндзя и разведчика Рас­по­ло­же­ние сто­рон спу­стя семь часов 

Шаг №5. Сто­рож раз­во­ра­чи­ва­ет­ся, и сто­ро­ны опять дви­жут­ся навстре­чу со ско­ро­стью сбли­же­ния 10 км/ч. Счи­та­ем вре­мя, кото­рое пона­до­бит­ся для встречи: 

2 км ÷ 10 км/час = 0,2 часа

Теперь счи­та­ем рас­сто­я­ние, кото­рое про­бе­жит сторож: 

6 км/ч × 0,2 часа = 1,2 км 

Когда это рас­сто­я­ние будет прой­де­но, сто­рож сно­ва раз­вер­нёт­ся и побе­жит обрат­но. Так будет про­дол­жать­ся до тех пор, пока нин­дзя не дой­дут до города. 

Шаг №6. Дела­ем про­ме­жу­точ­ный рас­чёт рас­сто­я­ния, прой­ден­но­го сторожем: 

30 км + 6 км + 6 км + 1,2 км + 1,2 км и так далее

Заме­ча­ем, что рас­сто­я­ния обра­зу­ют бес­ко­неч­но убы­ва­ю­щую гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию со зна­ме­на­те­лем 0,2 и пер­вым чле­ном 6, кото­рый повто­ря­ет­ся дважды. 

Для бес­ко­неч­но убы­ва­ю­щей гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии мы нахо­дим нуж­ную фор­му­лу, под­став­ля­ем извест­ные чис­ла и считаем: 

S = b₁/(1 - q) — фор­му­ла бес­ко­неч­но убы­ва­ю­щей гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии, где b₁= 6, а q = 0,2

Перед финаль­ным рас­чё­том не забы­ва­ем учи­ты­вать, что чле­ны гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии повто­ря­ют­ся по два раза. Поэто­му наша фор­му­ла будет такой: 

30 км + (2× (6/(1 - 0,2)) км = 30 км + 15 км = 45 км

Запи­сы­ва­ем ответ: за всё вре­мя сто­рож про­бе­жит 45 км. Такие дела 😆😆😆

Текст:

Алек­сандр Бабаскин

Редак­ту­ра:

Мак­сим Ильяхов

Худож­ник:

Даня Бер­ков­ский

Кор­рек­тор:

Ири­на Михеева

Вёрст­ка:

Мария Дро­но­ва

Соц­се­ти:

Олег Веш­кур­цев