Андрей, Вова и Сергей участвуют в соревнованиях на мячах, их цель — кинуть мяч так, чтобы попасть в любого соперника. В кого попали — выбывает. Все кидают строго по очереди.
Все знают, что вероятность того, что Андрей попадёт в цель с первого раза, равна 0,3. Вероятность того, что попадет Сергей — 0,5, а Вова вообще никогда не промахивается, у него вероятность 1,0.
Участники по очереди кидают мяч друг в друга, самостоятельно выбирая цель, до тех поp, пока не останется только один человек.
Как Андрею увеличить свои шансы на победу, если он кидает мяч первым, но делает это хуже всех?
Сначала попытайтесь решить задачу самостоятельно, и если зайдёте в тупик — открывайте решение.
Оптимальное решение — специально кинуть мяч в сторону от всех, чтобы целенаправленно промахнуться. Следите за цифрами.
Если Андрей кидает мяч в Вову, то попадает с вероятностью 0,3 и выиграет, но после этого Сергей кинет в Андрея с вероятностью 0,5. Чтобы Андрей победил, Сергей должен промахнуться, а Андрей в ответ — попасть. Вероятность такого исхода = 0,3 × 0,5 = 0,15. А общая вероятность победить у Андрея с такой стратегией равна:
0,3 × 0,15 = 0,045
Если Андрей кидает первый мяч в Сергея и попадает с той же вероятностью 0,3, то следующим броском Вова попадает в Андрея, потому что никогда не промахивается. В этой ветке событий Андрей проиграл вообще без шансов выиграть. Если же Андрей промахивается, то Вова будет кидать в Сергея (чтобы выбить наиболее сильного соперника), и, как всегда, попадёт. Тогда Андрей следующим броском выбивает Вову с вероятностью 0,3. Считаем общую вероятность выигрыша:
Андрей кидает в Сергея и попадает: шансов на выигрыш — 0
или
Андрей кидает в Сергея и промахивается — вероятность 0,7
Вова кидает в Сергея и попадает — вероятность 1
Андрей кидает в Вову и попадает — вероятность 0,3
Вероятность выиграть в таком случае — 0,7 × 1 × 0,3 = 0,21
Общая вероятность победить по итогам двух вариантов развития: 0 + 0,21 = 0,21
А вот если Андрей специально промахивается, то события развиваются так (исходя из здравого смысла у остальных соперников):
Вове невыгодно кидать мяч в Андрея, потому что когда он выйдет из игры, Сергей выбьет Вову с вероятностью 0,5. Вове выгоднее кинуть мяч и точно попасть в Сергея, потому что у Андрея вероятность на победу всего 0,3.
Получается, что Вова кидает мяч в Сергея, выбивает его, а затем Андрей кидает в Вову и выигрывает с вероятностью 0,3. Запишем это:
Андрей специально промахивается — вероятность 1
Вова попадает в Сергея — вероятность 1
Андрей попадает в Вову — вероятность 0,3
Общая вероятность события: 1 × 1 × 0,3 = 0,3
Получается, что максимальные шансы на победу у Андрея только тогда, когда он специально промахнётся. Звучит странно, но цифры есть цифры.
