Что такое бином Ньютона и почему им всех пугают

Что такое бином Ньютона и почему им всех пугают

Мы им все пользовались в школе, но не знали об этом

Продолжаем рассказывать о разных формулах и подходах из математики, которые часто применяются в ИТ и в привычных алгоритмах. Сегодня будет про бином Ньютона — про него много кто слышал, но не все представляют, что это и зачем это нужно. Сейчас разложим по полочкам. 

Чтобы понять бином Ньютона, нам понадобится треугольник Паскаля.

Что такое треугольник Паскаля

Треугольник Паскаля — это одно из названий треугольной таблицы чисел. Его назвали в честь математика Блеза Паскаля, но про такой треугольник математики знали тысячу лет назад. 

Работает треугольник так: берём единицу (это будет вершина треугольника), а все остальные числа в каждом ряду получаем сложением левых и правых чисел, которые стоят выше. Если нарисовать, то получится так:

Что такое бином Ньютона и почему им всех пугают

Такой треугольник можно продолжать бесконечно. В математике этот треугольник обладает разными полезными свойствами, но нам он нужен для биномиальных коэффициентов в биноме Ньютона. Вот теперь поговорим про бином.

Что такое бином Ньютона (просто)

Бином Ньютона — это формула, которая помогает посчитать сумму двух чисел, возведенную в какую-то степень.

Разбираем по полочкам: 

  • У нас есть некие числа a и b. Мы не знаем какие, потому что алгебра.
  • Не зная, что это за числа, мы их складываем.
  • Эту сумму почему-то очень хочется возвести в какую-то степень — в квадрат, в куб, в четвертую, хоть в девятьсот девяносто девятую — алгебре плевать на ваши чувства.
  • Нам нужна формула, как это сделать. Вот эта формула и есть бином Ньютона. 

Из школьной программы мы помним такую формулу: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 — это частный случай бинома Ньютона для квадрата суммы. 

Может быть, вы помните сумму в кубе: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 — это тоже бином Ньютона. 

А что если нам нужно возвести сумму не в квадрат, не в куб, а в сто сорок шестую степень? Какая тогда будет формула? Вот для этого нам нужна более обобщенная формула, которая опишет вообще все варианты биномов для любой степени.

Вот как эта формула выглядит в общем виде:

Что такое бином Ньютона и почему им всех пугают

Про знак Σ мы уже говорили — это обозначение суммы, а цифры в больших скобках — это биномиальные коэффициенты. В общем виде они считаются так:

Что такое бином Ньютона и почему им всех пугают

Исходя из этой адской формулы для расчета бинома на компьютере нам нужно будет много раз посчитать факториал — это произведение всех целых чисел от единицы до заданного числа. Например, 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120. А факториалы в силу своей цикличности жрут довольно много оперативной памяти. Может так получиться, что мы не сможем посчитать коэффициенты бинома, потому что закончилась оперативка.

Но, оказывается, необязательно считать факториалы — есть способ проще.

Биномиальные коэффициенты и треугольник Паскаля (простая теория в картинках)

Тут нам приходит на помощь треугольник Паскаля. Оказывается, числа в каждом ряду — это биномиальные коэффициенты для каждой степени n:

Что такое бином Ньютона и почему им всех пугают

На практике это работает так: допустим, что по ходу работы алгоритма нам нужно раскрыть скобки и вычислить (x + y)⁴. Применим сюда бином Ньютона и треугольник Паскаля:

Что такое бином Ньютона и почему им всех пугают

Получается, что с помощью этого треугольника можно не считать все эти формулы с факториалами, а быстро находить нужные коэффициенты, подставлять их в формулу бинома и сразу получать ответ. Так можно разложить любой бином и получить ответ гораздо быстрее, чем вычисляя все факториалы подряд.

Где используется бином Ньютона

Кроме математики, где бином нужен для комбинаторики и разных полезных формул, он часто применяется в программировании. Например, с его помощью можно обойти ограничение на размер оперативной памяти при возведении большого числа в степень: его можно разложить на сумму двух чисел поменьше и посчитать слагаемые через бином. 

Также биномиальные коэффициенты часто применяются в матрицах и операциях с векторами — а именно на матрицах построены почти все нейросети. Поэтому если мы сможем быстро находить нужный коэффициент и применять его к матрице, то сможем быстрее создавать дипфейки и генерировать реалистичные пейзажи. Строго говоря, для этого сейчас нужно просто знать команду import, потому что готовых библиотек на эту тему — вагон, без всяких биномов. 

А ещё на биномиальных коэффициентах работает отдельная непозиционная система счисления — её применяют в проектах, где надо быстро перебирать много различных вариантов и их возможных сочетаний.

Что дальше

Дальше мы попробуем применить эти знания и алгоритмы на практике: напишем код, который использует бином Ньютона для решения разных хитрых бытовых задач. 

Код и описание проекта:

LeAnne Chan

Текст:

Михаил Полянин

Редактор:

Максим Ильяхов

Художник:

Алексей Сухов

Корректор:

Ирина Михеева

Вёрстка:

Кирилл Климентьев

Соцсети:

Виталий Вебер

Любите математику? Это для вас
Попробуйте бесплатный тренажер «Основы математики для цифровых профессий». Это все необходимые знания, чтобы закрыть пробелы в математике для айтишника.
Попробовать бесплатно
Любите математику? Это для вас Любите математику? Это для вас Любите математику? Это для вас Любите математику? Это для вас
Получите ИТ-профессию
В «Яндекс Практикуме» можно стать разработчиком, тестировщиком, аналитиком и менеджером цифровых продуктов. Первая часть обучения всегда бесплатная, чтобы попробовать и найти то, что вам по душе. Дальше — программы трудоустройства.
Начать карьеру в ИТ
Получите ИТ-профессию Получите ИТ-профессию Получите ИТ-профессию Получите ИТ-профессию
medium