Сегодня вы поймёте, что такое интеграл в математике

Сегодня вы поймёте, что такое интеграл в математике

(и в программировании)

Недавно мы разобрали, что такое знаки Σ и П в математике — это операции, которые, по сути, похожи на циклы в программировании. В одном случае мы складывали много чисел по определённому принципу, а в другом — умножали. 

Сегодня посмотрим на интеграл ∫ — что это такое и какой цикл можно сделать из него. 

Но сначала: что такое функция

Интегралы в математике всегда связаны с функциями, поэтому сначала поговорим про них. 

Функцию можно представить как «коробку с математикой». У тебя есть какая-то масса математических операций, ты их «запаковываешь» в функцию. Теперь ты можешь эту массу операций вызывать в своих математических выражениях одним действием. 

У функции есть один или несколько аргументов — это те числа, к которым нужно применить массу математических операций. Можно представим, что мы засунули это число в коробку с математикой, потрясли и получили на выходе другое число. 

Сегодня вы поймёте, что такое интеграл в математике

Из школы вы наверняка помните функции sin() и cos() — синус и косинус. На вход им подаётся какое-то число, это число насилуют по теореме Пифагора, а на выходе получается дробное число от –1 до 1. 

Сегодня вы поймёте, что такое интеграл в математике

Функции можно засовывать в другие функции. Например, возьмём новую функцию f(x) и положим в неё выражение sin(x) + cos(x). Это будет работать так: 

  1. Берется значение x.
  2. Считается синус x.
  3. Считает косинус x.
  4. Результаты складываются.
  5. Результат сложения отдаётся туда, где была вызвана функция.

Если посчитать f(x) для одного числа, получится другое число. Если посчитать f(x) от 100 чисел, получится 100 других чисел. А если непрерывно считать f(x) для бесконечного количества чисел, то получится бесконечное количество других чисел. 

Если поставить эти числа по возрастанию x, то можно построить график функции y = f(x). Это означает, что по горизонтали мы имеем все возможные значения x, а по вертикали — результат вычисления функции f(x). Если каждый результат отметить точкой, получится линия: 

Сегодня вы поймёте, что такое интеграл в математике

Что такое интеграл

Итак, у нас есть некая функция, у неё есть числа на входе и числа на выходе. Эти пары чисел можно использовать для построения графика функции. 

Теперь берём этот график функции и проводим две линии, которые ограничивают график. Получается фигура, которая сверху зависит от нашей функции, а с остальных сторон ограничена прямыми линиями и осью:

Сегодня вы поймёте, что такое интеграл в математике

А теперь то, ради чего всё это затевалось:

✅ Площадь этой фигуры и есть интеграл функции f(x) = sin(x) + cos(x) на отрезке от a до b

В нашем случае мы считаем интеграл от нуля до числа пи — 3,1415926...

Сегодня вы поймёте, что такое интеграл в математике

Это называется определённый интеграл. Определённый — это когда у нас определены начало и конец фигуры — в математике это называют пределами интегрирования. Записывается этот интеграл так:

Сегодня вы поймёте, что такое интеграл в математике

В математике есть ещё неопределённые интегралы, у которых нет пределов интегрирования. Ими мы заниматься не будем, потому что ответом к неопределённому интегралу будет не конкретное число, а формула.

Зачем нужны интегралы в народном хозяйстве

Вы удивитесь, но в первую очередь интегралы нужны, чтобы находить площади и объёмы. В буквальном смысле: вот фигура, вот её описание в виде функции, проинтегрировали — узнали площадь. Будете, например, заливать бетоном красивую кривую дорожку — узнаете, сколько вам нужно бетона. 

Интегралы нужны в математике и физике, это один из инструментов вычислений.

Если вы астрофизик, интеграл поможет вам рассчитать какие-нибудь свойства звёзд с течением времени. А математики говорят, что в интегралах не нужно искать практический смысл; их нужно любить, как мать, и почитать, как отца. 

Как посчитать интеграл (то есть найти площадь)

Если бы у нас был прямоугольник, то всё просто: перемножаем высоту на ширину. Если бы была трапеция, тоже ещё как-то что-то можно. Но сверху у нас кривая, поэтому так сделать не получится. Решение придумали такое:

  1. Разбиваем фигуру слева направо на много маленьких частей.
  2. В каждой части рисуем маленький прямоугольник и находим его площадь.
  3. Складываем площади всех прямоугольников и получаем общую площадь фигуры, а значит — значение интеграла.

Сегодня вы поймёте, что такое интеграл в математике

Минус такого подхода в том, что, как бы мы ни старались, прямоугольники не могут повторить все изгибы, и появится погрешность. С другой стороны, чем тоньше будут эти прямоугольники, тем точнее будет ответ. Получается, что наша задача — нарезать фигуру как можно тоньше.

Теперь задача становится намного проще: мы просто считаем площадь каждого прямоугольника и складываем их вместе. В таком виде задачу уже можно решить простым алгоритмом.

Сегодня вы поймёте, что такое интеграл в математике

Пишем код

Раз нам нужно разбить интервал на много частей а потом с каждой из них сделать одно и то же, то это точно задача для цикла. Для этого нам понадобится шаг цикла — какой ширины будут наши прямоугольники, чтобы бы могли их одинаково перебирать.

Чтобы посчитать шаг, находим расстояние между конечной и начальной точкой и делим на желаемое количество прямоугольников (это будет нашей точностью интегрирования).

 Общая логика работы будет такая:

  1. Берём предыдущую точку и прибавляем к ней значение шага — так получаем новую точку.
  2. Находим значение функции в новой точке — это будет высота прямоугольника.
  3. Умножаем её на значение шага (ширину прямоугольника) — так получаем площадь прямоугольника.
  4. Прибавляем значение площади к общей сумме всех площадей — так получаем значение интеграла.

На картинке — все исходные данные, а ниже — код, который считает интеграл. Смотрите на картинку и читайте комментарии: так будет ещё проще разобраться в коде:

Сегодня вы поймёте, что такое интеграл в математике
// задаём границы интегрирования
// считать будем от нуля до пи
var a = 0;
var b = 3.1415926;

// задаём точность вычислений, на сколько частей будем делить интервал
n = 10000;

// шаг интегрирования (оно же — ширина мини-прямоугольника. Пока что пустая переменная, мы её посчитаем.)
var h;

// текущее значение переменной для функции
// на старте оно совпадает с первой границей
var current = a;

// здесь будем хранить значение получившегося интеграла
var s = 0;

// функция, которую нужно проингтегрировать
function f(x) {
	return (Math.sin(x) + Math.cos(x));
}

// считаем шаг интегрирования
h = (b - a)/n;

// пока не дошли до другой границы — цикл работает
while (current <= b){
	// находим значение функции в текущей точке и умножаем его на значение шага
	// так мы получим площадь очень маленького прямоугольника, который можно нарисовать в этой точке
	// общая площадь фигуры — это сумма всех таких маленьких прямоугольников
	s = s + (f(current) * h );
	// сдвигаемся к следующей точке
	current += h;
}

// должно получиться число 2 или что-то очень близкое к нему
console.log('Значение интеграла: ' + s);
Сегодня вы поймёте, что такое интеграл в математике

Что дальше

Теперь этот код можно изменить так, чтобы он считал интеграл в любых пределах у любой функции. С точки зрения математики это не самый точный результат, но всё зависит от того, сколько точных знаков после запятой нам нужно. 

В следующей серии продолжим разбираться со страшной математикой. Если есть пожелания для разбора — напишите в комментариях.

Текст:

Михаил Полянин

Редактор:

Максим Ильяхов

Художник:

Даня Берковский

Корректор:

Ирина Михеева

Вёрстка:

Кирилл Климентьев

Соцсети:

Олег Вешкурцев

Получите ИТ-профессию
В «Яндекс Практикуме» можно стать разработчиком, тестировщиком, аналитиком и менеджером цифровых продуктов. Первая часть обучения всегда бесплатная, чтобы попробовать и найти то, что вам по душе. Дальше — программы трудоустройства.
Начать карьеру в ИТ
Получите ИТ-профессию Получите ИТ-профессию Получите ИТ-профессию Получите ИТ-профессию
Еще по теме
Как накопить на Айфон ещё быстрее
Как накопить на Айфон ещё быстрее

Excel нам в помощь.

easy
Подсвечиваем манипуляции и пропаганду на любом сайте
Подсвечиваем манипуляции и пропаганду на любом сайте

Береги свой ум.

easy
Большой разбор: ИИ научился играть в динозаврика из Chrome

Тот редкий случай, когда хочешь остаться без интернета.

medium
Прокачиваем собственный генератор паролей

Тройная защита для вашей семьи!

hard
Что означает ошибка SyntaxError: missing ) after formal parameters

На самом деле это не просто пропущенная скобка.

easy
Пишем собственный лапшесниматель
Пишем собственный лапшесниматель

Инструмент для защиты ума от пропаганды, контрпропаганды, инфобизнеса и лжепсихологов.

easy
Как устроен проект «Гадаем на статьях Кода»
Как устроен проект «Гадаем на статьях Кода»

Никакой магии, только JavaScript.

easy
Бесконечная заставка с пинг-понгом
Бесконечная заставка с пинг-понгом

Ещё один способ работать с элементами, не зная их id

medium
Красивый цветной текст в CSS: как это сделать
Красивый цветной текст в CSS: как это сделать

Можно раскрасить хоть по диагонали

easy
Создаём статичный сайт на Hugo
Создаём статичный сайт на Hugo

Превращаем простой текст в полноценный сайт.

medium
medium