Как быстро найти любой логарифм с помощью обычного цикла

Как быстро найти любой логарифм с помощью обычного цикла

Пишем простой код на Python

На прошлой неделе мы рассказали, что такое логарифм и зачем он нужен. Сегодня найдём логарифм с помощью программирования. 

Вот короткая версия теории:

  1. Логарифм — это в какую степень нужно возвести одно число, чтобы получить другое число.
  2. То, число, которое возводят в степень, называется основанием логарифма.
  3. Логарифм обозначается словом log.
  4. Например, log(10) 100 = 2, потому что 10² = 100.
  5. Есть ещё обозначение lg — это то же самое, что log(10). И есть ln — это то же самое, что log(e), где e — это число Эйлера, важная математическая константа. 
  6. Логарифмы используются в каждой значимой области нашей жизни, от биологии до физики.

Теперь, когда мы знаем достаточно про логарифм, то можем написать программу, которая нам найдёт любой логарифм по любому основанию.

В чём идея

Мы уже выяснили, что логарифм — это степень, в которую нужно возвести основание логарифма, чтобы получить нужное число. Получается, что нам нужно подобрать такую степень, чтобы при возведении она давала такое же число — это и будет ответом к решению логарифма.

Алгоритм поиска будет таким: 

  1. Найдём минимальное значение степени, возведение в которую ещё не превысит наше число.
  2. Это значит, что следующее за ним целое число — уже перебор, и основание в этой степени точно превысит наше число.
  3. Будем делить этот промежуток пополам нужное количество раз, пока не получим нужную точность ответа после запятой.
  4. Когда цикл закончится, середина оставшегося промежутка и будет ответом.

Мы так уже делили границы пополам в задаче про то, как угадать число за 7 попыток, поэтому, если алгоритм показался немного непонятным, — перечитайте то решение и возвращайтесь сюда.

Готовим переменные

Для работы программы пользователь должен будет указать три вещи:

  1. Основание логарифма.
  2. Число, от которого мы берём этот логарифм.
  3. Точность решения. Точность указываем в количестве точно вычисленных знаков после запятой.

Выделим переменные для этого: 

# на старте границы поиска значения логарифма все равны нулю
start = 0
end = 0
middle = 0

# логарифм какого числа мы ищем
num = 600
# основание логарифма
base = 10

# сколько нужно знаков после запятой
accuracy = 4

Вычисляем границы

Поиск делаем так: начинаем считать от нуля и на каждом шаге увеличиваем это значение на единицу. Как только мы превысили аргумент (то, от чего берём логарифм) — это наша конечная граница. Соответственно, предыдущее значение, которое на единицу меньше, будет стартовой границей.

# пока основание в очередной степени не превысило само число — 
while base**end <= num:
    # увеличиваем конечную границу поиска на единицу
    end += 1

# откатываемся на один шаг назад от конечной границы, чтобы найти начальную границу
start = end - 1

Проверяем, вдруг мы сразу нашли решение

На всякий случай перед тем, как идти дальше, проверим, будет ли решением наша стартовая граница — это сразу может сэкономить нам много сил в дальнейшем:

Проверяем, вдруг мы сразу нашли решение
На всякий случай перед тем, как идти дальше, проверим, будет ли решением наша стартовая граница — это сразу может сэкономить нам много сил в дальнейшем:
# если сразу нашли целое значение степени
if base**start == num:
    # выводим решение
    print('log(' + str(base) + ')' + str(num) + ' = ' + str(start))
    # останавливаем программу
    exit(0)

Считаем логарифм

Мы будем считать логарифм не классическим способом из высшей математики, а простым приближением — найдём ответ с приемлемой точностью. За точность отвечает переменная accuracy, но в цикле мы её умножим на 4. Это неочевидный ход, поэтому сейчас объясним, в чём тут дело.

На каждом шаге цикла мы делим границу пополам, но если деление выпадает на чётную значимую цифру, то при делении у нас не увеличится количество знаков после запятой. Например, если нам нужна точность 2 знака после запятой, то если вторым шагом цикла мы разделим 0,4 на 2, то у нас останется один знак после запятой (0,2). Таких делений может быть 4 подряд, прежде чем мы доберёмся до следующего знака: 8 → 4 → 2 → 1, поэтому мы и умножаем требуемую точность на 4 — чтобы гарантированно получить нужную точность.

Теперь запишем этот цикл на языке программирования. Его можно было сделать изящнее, например, вложив условные операторы друг в друга или используя оператор множественного выбора, но так получается нагляднее:

# организуем цикл, чтобы получить нужную точность после запятой
for i in range(accuracy*4):
    # увеличиваем счётчик цикла
    i += 1
    # находим серединное значение
    middle = (start + end) / 2
    # если основание в этой степени больше нашего числа, то сдвигаем к середине конечную границу
    if base**middle > num:
        end = middle
    # если основание в этой степени больше нашего числа, то сдвигаем к середине начальную границу
    if base**middle < num:
        start = middle
    # если основание в этой степени равно нашему числу
    if base**middle == num:
        # выводим ответ и выходим из цикла
        print('log(' + base + ')' + num + ' = ' + start)
        break

Выводим ответ

Это самая простая часть алгоритма:

# когда цикл закончился — выводим ответ
print('log(' + str(base) + ')' + str(num) + ' = ' + str(middle))

Проверяем работу

Для проверки посчитаем log(10) 600 с помощью нашей программы:

Как быстро найти любой логарифм с помощью обычного цикла
Ответ программы — 2,77815 с точностью 5 знаков после запятой

Теперь запустим калькулятор и проверим наше решение:

Как быстро найти любой логарифм с помощью обычного цикла
Первые 5 знаков после запятой — те же самые, значит? Алгоритм работает верно

# на старте границы поиска значения логарифма все равны нулю
start = 0
end = 0
middle = 0

# логарифм какого числа мы ищем
num = 600
# основание логарифма
base = 10

# сколько нужно знаков после запятой
accuracy = 5

# пока основание в очередной степени не превысило само число — 
while base**end <= num:
    # увеличиваем конечную границу поиска на единицу
    end += 1

# откатываемся на один шаг назад от конечной границы, чтобы найти начальную границу
start = end - 1

# если сразу нашли целое значение степени
if base**start == num:
    # выводим решение
    print('log(' + str(base) + ')' + str(num) + ' = ' + str(start))
    # останавливаем программу
    exit(0)

# организуем цикл, чтобы получить нужную точность после запятой
for i in range(accuracy*4):
    # увеличиваем счётчик цикла
    i += 1
    # находим серединное значение
    middle = (start + end) / 2
    # если основание в этой степени больше нашего числа, то сдвигаем к середине конечную границу
    if base**middle > num:
        end = middle
    # если основание в этой степени больше нашего числа, то сдвигаем к середине начальную границу
    if base**middle < num:
        start = middle
    # если основание в этой степени равно нашему числу
    if base**middle == num:
        # выводим ответ и выходим из цикла
        print('log(' + base + ')' + num + ' = ' + start)
        break

# когда цикл закончился — выводим ответ
print('log(' + str(base) + ')' + str(num) + ' = ' + str(middle))

Текст:

Михаил Полянин

Редактор:

Максим Ильяхов

Художник:

Даня Берковский

Корректор:

Ирина Михеева

Вёрстка:

Кирилл Климентьев

Соцсети:

Алина Грызлова

Любите математику? Это для вас
Попробуйте бесплатный тренажер «Основы математики для цифровых профессий». Это все необходимые знания, чтобы закрыть пробелы в математике для айтишника.
Попробовать бесплатно
Любите математику? Это для вас Любите математику? Это для вас Любите математику? Это для вас Любите математику? Это для вас
Получите ИТ-профессию
В «Яндекс Практикуме» можно стать разработчиком, тестировщиком, аналитиком и менеджером цифровых продуктов. Первая часть обучения всегда бесплатная, чтобы попробовать и найти то, что вам по душе. Дальше — программы трудоустройства.
Начать карьеру в ИТ
Получите ИТ-профессию Получите ИТ-профессию Получите ИТ-профессию Получите ИТ-профессию
Еще по теме
Как сделать свой сайт за 10 минут без программирования

Для некоторых это становится источником постоянного дохода, если подойти к процессу с умом.

easy
Чат-бот
Делаем своего первого чат-бота

Суперпростой способ создать бота, не зная программирования.

easy
Как сделать колесо фортуны на сайте
Как сделать колесо фортуны на сайте

Достаточно одного скрипта и немного CSS

medium
Улучшаем контекстное меню: делаем стильно и красиво
Улучшаем контекстное меню: делаем стильно и красиво

Почти как настоящее

medium
Что означает ошибка TypeError: can only concatenate str (not "int") to str
Что означает ошибка TypeError: can only concatenate str (not "int") to str

Это значит, что вы пытаетесь сложить строки с числами

easy
Вжух, вжух! Добавляем звук меча на любой странице

Время дурацких проектов.

medium
Бигдата и такси: как найти самое нагруженное время
Бигдата и такси: как найти самое нагруженное время

Анализируем миллион записей и смотрим на результат

hard
Что означает ошибка ModuleNotFoundError: No module named
Что означает ошибка ModuleNotFoundError: No module named

Python ругается, что не может найти нужный модуль

easy
ReferenceError: math is not defined — что это означает

Противная и неочевидная ошибка, которую очень легко исправить.

medium
Что означает ошибка SyntaxError: Unexpected token '{'. import call expects exactly one argument
Что означает ошибка SyntaxError: Unexpected token '{'. import call expects exactly one argument
easy
easy