Что такое логарифм в математике и в жизни

Что такое логарифм в математике и в жизни

И при чём здесь капуста, горные козлы и ракетостроение

Для многих логарифм — это самая странная часть в математике: непонятно, как их считать, где применять и как они могут пригодиться в жизни. Сегодня ответим на все эти вопросы.

Если интересно, как в математике работают остальные функции и символы, вот что у нас уже есть:

Что такое логарифм

Задача логарифма — ответить на такой вопрос:

В какую степень нужно возвести одно число, чтобы получилось другое?

На языке математики это будет выглядеть вот так:

Что такое логарифм в математике и в жизни

Теперь сделаем то же самое, но уже с числами. Например, нам нужно узнать, в какую степень нужно возвести число 2, чтобы получить 8. Если вспомнить степени двойки, то будет ясно, что 2³ = 8, а значит, ответ будет «в третью степень». Мы только что нашли логарифм числа 8 по основанию 2.

Что такое логарифм в математике и в жизни

Десятичный, натуральный и другие логарифмы

Число A, которое возводят в какую-то степень, называется основанием логарифма. Самые популярные у математиков логарифмы — десятичный и натуральный.

Десятичный логарифм — это когда в основании логарифма стоит число 10. Наша задача в этом случае — найти, в какую степень нужно возвести 10, чтобы получить желаемое число. Обозначается так — lg: 

Что такое логарифм в математике и в жизни

Натуральный логарифм устроен похоже, только вместо десятки в основании логарифма стоит число e, которое примерно равно 2,71828 и называется числом Эйлера. В математике число e играет такую же важную роль, как в геометрии — число пи, поэтому логарифм по основанию e часто встречается во многих математических выкладках и доказательствах.

Обозначается натуральный логарифм так — ln:

Что такое логарифм в математике и в жизни

Логарифмическая шкала

Если мы возьмём линию и отметим на ней точки через каждый сантиметр, то мы получим арифметическую шкалу. Арифметическую — потому что каждая новая отметка считается арифметическим действием — сложением шага и предыдущего значения:

Что такое логарифм в математике и в жизни

Но если мы вместо сложения возьмём логарифм, например, по основанию 10, то каждая новая отметка будет зависеть от значения десятичного логарифма:

Что такое логарифм в математике и в жизни

Это выглядит странно, но логарифмическая шкала постоянно применяется в экономике и маркетинге, когда нужно оценить рост или падение стоимости товара. Если взять обычную арифметическую шкалу, то разница между парами (1, 2) и (9, 10) будет одной и той же — 1 пункт. 

Что такое логарифм в математике и в жизни

Но при этом в первом случае цена выросла в 2 раза, с 1 до 2, а во втором случае — всего лишь на 10%. С логарифмической шкалой рост цены будет выглядеть логичнее:

Что такое логарифм в математике и в жизни

Зачем нужны логарифмы в жизни

Вокруг нас и в быту мы встречаем гораздо больше логарифмов, чем кажется. Вот несколько примеров.

Децибелы, в которых измеряется относительная громкость любых звуков, считаются по десятичному логарифму. Относительная — потому что она считается от минимального порога громкости, которую только может расслышать человек. Например, если громкость звука равна 20 децибел, то это значит, что это громче самого тихого в 100 раз, а если 30 децибел — то в 1000 раз.

В химии активность водородных ионов тоже считается по логарифмической шкале.

Выдержки и диафрагмы в фотографии тоже меняются логарифмически — каждое новое значение больше или меньше предыдущего в определённое число раз.

В ракетостроении для вычисления скорости ракеты используется уравнение Циолковского. В основе этого уравнения — логарифмическая зависимость от массы ракеты с топливом и без него.

Логарифмы в природе

Больше всего логарифмов можно встретить в природе в виде логарифмической спирали. Математическая формула спирали выглядит так:

Что такое логарифм в математике и в жизни

Если мы захотим построить график этого уравнения, то он будет выглядеть так:

Что такое логарифм в математике и в жизни
Логарифмическая спираль в математике.

А вот логарифмическая спираль в природе — в ракушках, подсолнечнике и капусте. С капустой ещё связана другая интересная тема — фракталы, но про них поговорим в другой раз.

Что такое логарифм в математике и в жизни
Что такое логарифм в математике и в жизни
Что такое логарифм в математике и в жизни

Даже рога у горных козлов закручиваются по логарифмической спирали:

Что такое логарифм в математике и в жизни

Что дальше

Теперь мы знаем про логарифмы достаточно, чтобы понять, как они работают. В следующей статье напишем простую программу из двух циклов, которая посчитает нам практически любой логарифм по любому основанию.

Текст:

Михаил Полянин

Редактор:

Максим Ильяхов

Художник:

Даня Берковский

Корректор:

Ирина Михеева

Вёрстка:

Кирилл Климентьев

Соцсети:

Алина Грызлова

Любите математику? Это для вас
Попробуйте бесплатный тренажер «Основы математики для цифровых профессий». Это все необходимые знания, чтобы закрыть пробелы в математике для айтишника.
Попробовать бесплатно
Любите математику? Это для вас Любите математику? Это для вас Любите математику? Это для вас Любите математику? Это для вас
Получите ИТ-профессию
В «Яндекс Практикуме» можно стать разработчиком, тестировщиком, аналитиком и менеджером цифровых продуктов. Первая часть обучения всегда бесплатная, чтобы попробовать и найти то, что вам по душе. Дальше — программы трудоустройства.
Начать карьеру в ИТ
Получите ИТ-профессию Получите ИТ-профессию Получите ИТ-профессию Получите ИТ-профессию
Еще по теме
Что такое трояны и вирусы — на самом деле

Чем может заразиться компьютер и насколько это реально страшно.

easy
Что такое Lisp
Что такое Lisp

Старый, но до сих пор нужный язык программирования

easy
Резко врываемся в дату: чему учат и каким будет результат
Резко врываемся в дату: чему учат и каким будет результат

Профессии, которые будут перспективны ещё много лет

easy
Ну что ж, переходим на Linux. С чего начать?
Ну что ж, переходим на Linux. С чего начать?

Краткое пособие по импортозамещению

easy
Что такое SCRUM
Что такое SCRUM

Модное слово в разработке. Нужно ли оно?

easy
Flipper Zero: как устроен хакерский тамагочи
Flipper Zero: как устроен хакерский тамагочи

И сколько на нём можно заработать.

easy
Как устроено сжатие с потерями
Как устроено сжатие с потерями

Благодаря этому у нас есть стримы и ютуб.

easy
Объяснение асимметричного шифрования без математики
Объяснение асимметричного шифрования без математики

Чтобы лучше понять принцип работы.

easy
Как учатся нейронки

Самое простое объяснение на картинках.

hard
Что такое «задача коммивояжёра»
Что такое «задача коммивояжёра»

Благодаря ей у нас есть навигаторы и системы принятия решений.

easy
medium