Что такое логарифм в математике и в жизни

Что такое логарифм в математике и в жизни

И при чём здесь капуста, горные козлы и ракетостроение

Для многих логарифм — это самая странная часть в математике: непонятно, как их считать, где применять и как они могут пригодиться в жизни. Сегодня ответим на все эти вопросы.

Если интересно, как в математике работают остальные функции и символы, вот что у нас уже есть:

Что такое логарифм

Задача логарифма — ответить на такой вопрос:

В какую степень нужно возвести одно число, чтобы получилось другое?

На языке математики это будет выглядеть вот так:

Что такое логарифм в математике и в жизни

Теперь сделаем то же самое, но уже с числами. Например, нам нужно узнать, в какую степень нужно возвести число 2, чтобы получить 8. Если вспомнить степени двойки, то будет ясно, что 2³ = 8, а значит, ответ будет «в третью степень». Мы только что нашли логарифм числа 8 по основанию 2.

Что такое логарифм в математике и в жизни

Десятичный, натуральный и другие логарифмы

Число A, которое возводят в какую-то степень, называется основанием логарифма. Самые популярные у математиков логарифмы — десятичный и натуральный.

Десятичный логарифм — это когда в основании логарифма стоит число 10. Наша задача в этом случае — найти, в какую степень нужно возвести 10, чтобы получить желаемое число. Обозначается так — lg: 

Что такое логарифм в математике и в жизни

Натуральный логарифм устроен похоже, только вместо десятки в основании логарифма стоит число e, которое примерно равно 2,71828 и называется числом Эйлера. В математике число e играет такую же важную роль, как в геометрии — число пи, поэтому логарифм по основанию e часто встречается во многих математических выкладках и доказательствах.

Обозначается натуральный логарифм так — ln:

Что такое логарифм в математике и в жизни

Логарифмическая шкала

Если мы возьмём линию и отметим на ней точки через каждый сантиметр, то мы получим арифметическую шкалу. Арифметическую — потому что каждая новая отметка считается арифметическим действием — сложением шага и предыдущего значения:

Что такое логарифм в математике и в жизни

Но если мы вместо сложения возьмём логарифм, например, по основанию 10, то каждая новая отметка будет зависеть от значения десятичного логарифма:

Что такое логарифм в математике и в жизни

Это выглядит странно, но логарифмическая шкала постоянно применяется в экономике и маркетинге, когда нужно оценить рост или падение стоимости товара. Если взять обычную арифметическую шкалу, то разница между парами (1, 2) и (9, 10) будет одной и той же — 1 пункт. 

Что такое логарифм в математике и в жизни

Но при этом в первом случае цена выросла в 2 раза, с 1 до 2, а во втором случае — всего лишь на 10%. С логарифмической шкалой рост цены будет выглядеть логичнее:

Что такое логарифм в математике и в жизни

Зачем нужны логарифмы в жизни

Вокруг нас и в быту мы встречаем гораздо больше логарифмов, чем кажется. Вот несколько примеров.

Децибелы, в которых измеряется относительная громкость любых звуков, считаются по десятичному логарифму. Относительная — потому что она считается от минимального порога громкости, которую только может расслышать человек. Например, если громкость звука равна 20 децибел, то это значит, что это громче самого тихого в 100 раз, а если 30 децибел — то в 1000 раз.

В химии активность водородных ионов тоже считается по логарифмической шкале.

Выдержки и диафрагмы в фотографии тоже меняются логарифмически — каждое новое значение больше или меньше предыдущего в определённое число раз.

В ракетостроении для вычисления скорости ракеты используется уравнение Циолковского. В основе этого уравнения — логарифмическая зависимость от массы ракеты с топливом и без него.

Логарифмы в природе

Больше всего логарифмов можно встретить в природе в виде логарифмической спирали. Математическая формула спирали выглядит так:

Что такое логарифм в математике и в жизни

Если мы захотим построить график этого уравнения, то он будет выглядеть так:

Что такое логарифм в математике и в жизни
Логарифмическая спираль в математике.

А вот логарифмическая спираль в природе — в ракушках, подсолнечнике и капусте. С капустой ещё связана другая интересная тема — фракталы, но про них поговорим в другой раз.

Что такое логарифм в математике и в жизни
Что такое логарифм в математике и в жизни
Что такое логарифм в математике и в жизни

Даже рога у горных козлов закручиваются по логарифмической спирали:

Что такое логарифм в математике и в жизни

Что дальше

Теперь мы знаем про логарифмы достаточно, чтобы понять, как они работают. В следующей статье напишем простую программу из двух циклов, которая посчитает нам практически любой логарифм по любому основанию.

Текст:

Михаил Полянин

Редактор:

Максим Ильяхов

Художник:

Даня Берковский

Корректор:

Ирина Михеева

Вёрстка:

Кирилл Климентьев

Соцсети:

Алина Грызлова

Любите математику? Это для вас
Попробуйте бесплатный тренажер «Основы математики для цифровых профессий». Это все необходимые знания, чтобы закрыть пробелы в математике для айтишника.
Попробовать бесплатно
Любите математику? Это для вас Любите математику? Это для вас Любите математику? Это для вас Любите математику? Это для вас
Получите ИТ-профессию
В «Яндекс Практикуме» можно стать разработчиком, тестировщиком, аналитиком и менеджером цифровых продуктов. Первая часть обучения всегда бесплатная, чтобы попробовать и найти то, что вам по душе. Дальше — программы трудоустройства.
Начать карьеру в ИТ
Получите ИТ-профессию Получите ИТ-профессию Получите ИТ-профессию Получите ИТ-профессию
Еще по теме
Как работает сканер отпечатка пальца
Как работает сканер отпечатка пальца

Удобно, но не всегда безопасно.

medium
Как устроен Практикум

И зачем там столько тренажёров.

easy
Markdown: что это и кому нужно
Markdown: что это и кому нужно

Для всех, кто пишет контент, сайты и программы.

easy
За что не любят программистов

Вредные привычки и издержки профессии, которые мешают окружающим восхищаться работой программиста.

easy
Как учатся нейронки

Самое простое объяснение на картинках.

hard
Самые интересные и необычные винтажные компьютеры
Самые интересные и необычные винтажные компьютеры

От перфокарт до транзисторов

easy
119 тысяч рублей за то, чтобы делать приложухи — это справедливо?

Краткий гид по работе мобильного разработчика

easy
Как Яндекс пережил самую крупную DDoS-атаку в истории интернета
Как Яндекс пережил самую крупную DDoS-атаку в истории интернета

Конспект подкаста «Запуск завтра»

easy
Стрелочные функции в JavaScript
Стрелочные функции в JavaScript

Почти как обычные функции, только стрелочные.

easy
Объяснение асимметричного шифрования без математики
Объяснение асимметричного шифрования без математики

Чтобы лучше понять принцип работы.

easy
medium