Что такое обратная матрица
Знакомимся с вектором Операции с векторами Векторы: третий уровень сложности Знакомство с матрицами
Что такое обратная матрица

Недав­но мы нача­ли гово­рить о линей­ной алгеб­ре и мат­ри­цах. Сна­ча­ла всё было хоро­шо и легко: 

Но начав зани­мать­ся линей­ной алгеб­рой, быва­ет труд­но оста­но­вить­ся. Сего­дня мы позна­ко­мим­ся с обрат­ной мат­ри­цей и научим­ся её вычис­лять. Это навык, кото­рый в буду­щем нам при­го­дит­ся для реше­ния мат­рич­ных уравнений.

С точ­ки зре­ния ариф­ме­ти­ки мате­ри­ал не слож­ный. Но он тре­бу­ет вдум­чи­во­го чте­ния для пони­ма­ния пра­вил. В ито­ге ста­тья доволь­но боль­шая, моз­ги кипят и тан­ки наши быстры. 

Читать ли эту статью?

❌ Если вам нуж­ны про­стые быст­рые реше­ния для жиз­ни — нет, мож­но объ­явить, что у вас сего­дня выходной. 

✅ Если ваше­му моз­гу не хва­та­ет вызо­ва и новых гори­зон­тов — вел­ком ту зе матрикс. 

Обратное — это как? 

В мате­ма­ти­ке есть вза­им­но обрат­ные чис­ла. Они полу­ча­ют­ся так: вы берё­те какое-то чис­ло, добав­ля­е­те отри­ца­тель­ную сте­пень и полу­ча­е­те обрат­ное число: 

Что такое обратная матрица

Обрат­ные чис­ла при умно­же­нии друг на дру­га все­гда дают единицу:

Что такое обратная матрица

Обратная матрица

В линей­ной алгеб­ре есть обрат­ные мат­ри­цы. По свой­ствам они напо­ми­на­ют обрат­ные чис­ла: если обыч­ную мат­ри­цу умно­жить на обрат­ную к ней, полу­чит­ся еди­нич­ная матрица.

Что такое обратная матрица

Еди­нич­ная мат­ри­ца рабо­та­ет как еди­ни­ца с чис­ла­ми: если умно­жить любое чис­ло на еди­ни­цу, полу­чит­ся исход­ное чис­ло; если умно­жить любую мат­ри­цу на еди­нич­ную мат­ри­цу — полу­чит­ся исход­ная матрица:

Что такое обратная матрица

Еди­нич­ная мат­ри­ца состо­ит из еди­ниц и нулей: на диа­го­на­ли нахо­дят­ся еди­ни­цы; осталь­ные эле­мен­ты — нули. Еди­нич­ные мат­ри­цы не исполь­зу­ют­ся при рас­чё­те обрат­ных мат­риц, но без них не полу­чит­ся решать мат­рич­ные уравнения.

Пример квадратной единичной матрицы размером 5×5 При­мер квад­рат­ной еди­нич­ной мат­ри­цы раз­ме­ром 5×5. Еди­нич­ная мат­ри­ца может быть любо­го раз­ме­ра — состо­ять из любо­го коли­че­ства строк и столбцов 

Как рассчитать обратную матрицу

Для рас­чё­та обрат­ной мат­ри­цы нуж­но выпол­нить три дей­ствия. Пока что не обра­щай­те вни­ма­ние на термины:

  1. Раз­де­лить еди­ни­цу на мат­рич­ный определитель. 
  2. Най­ти транс­по­ни­ро­ван­ную мат­ри­цу алгеб­ра­и­че­ских дополнений. 
  3. Пере­мно­жить полу­чен­ные значения.

Далее мы по поряд­ку во всём разберёмся.

Формула расчёта обратной матрицы Фор­му­ла рас­чё­та обрат­ной мат­ри­цы: |A| — мат­рич­ный опре­де­ли­тель; Aᵀᵢⱼ — мат­ри­ца алгеб­ра­и­че­ских дополнений 
Первое действие: делим единицу на матричный определитель

Опре­де­ли­тель — это осо­бое чис­ло, кото­рое «опре­де­ля­ет» свой­ства матрицы. 

Поря­док вычис­ле­ния опре­де­ли­те­ля зави­сит от раз­ме­ра мат­ри­цы, кото­ро­му он соот­вет­ству­ет — чем боль­ше мат­ри­ца, тем слож­нее счи­тать опре­де­ли­тель. Мы толь­ко зна­ко­мим­ся с мат­ри­ца­ми, поэто­му оста­но­вим­ся на опре­де­ли­те­лях вто­ро­го и тре­тье­го поряд­ка — они под­хо­дят для квад­рат­ных мат­риц раз­ме­ром 2×2 и 3×3. 

Что­бы най­ти опре­де­ли­тель вто­ро­го поряд­ка, нам доста­точ­но умно­жить эле­мен­ты глав­ной диа­го­на­ли и вычесть из зна­че­ния про­из­ве­де­ние чисел вто­рой диагонали.

Формула для расчёта определителя второго порядка Фор­му­ла для рас­чё­та опре­де­ли­те­ля вто­ро­го порядка 

Пример расчёта определителя второго порядка При­мер рас­чё­та опре­де­ли­те­ля вто­ро­го порядка 

Опре­де­ли­тель тре­тье­го поряд­ка нахо­дит­ся путём умно­же­ния диа­го­на­лей на тре­уголь­ни­ки. Здесь мно­го опе­ра­ций, поэто­му фор­му­лу собе­рём по частям. 

Сна­ча­ла рабо­та­ем по глав­ной диа­го­на­ли: идём от верх­не­го лево­го эле­мен­та и дви­жем­ся к пра­во­му ниж­не­му эле­мен­ту. Пере­мно­жа­ем эле­мен­ты меж­ду собой.

Считаем определитель третьего порядка: 1-й этап — главная диагональ Счи­та­ем опре­де­ли­тель тре­тье­го поряд­ка: 1-й этап — глав­ная диагональ 

При­бав­ля­ем к про­из­ве­де­нию эле­мен­тов пер­вой диа­го­на­ли про­из­ве­де­ние пер­во­го тре­уголь­ни­ка. Осно­ва­ние пер­во­го тре­уголь­ни­ка нахо­дит­ся парал­лель­но глав­ной диа­го­на­ли и состо­ит из эле­мен­тов А₂₁ и А₃₂. Вер­ши­на — элементА₁₃.

Считаем определитель третьего порядка: 2-й этап — первый треугольник Счи­та­ем опре­де­ли­тель тре­тье­го поряд­ка: 2-й этап — пер­вый треугольник 

При­бав­ля­ем к полу­чен­но­му резуль­та­ту про­из­ве­де­ние вто­ро­го тре­уголь­ни­ка, в кото­ром осно­ва­ние состо­ит из эле­мен­тов А₁₂ и А₂₃, а вер­ши­на — А₃₁.

Считаем определитель третьего порядка: 3-й этап — второй треугольник Счи­та­ем опре­де­ли­тель тре­тье­го поряд­ка: 3-й этап — вто­рой треугольник 

Вычи­та­ем из полу­чен­но­го зна­че­ния про­из­ве­де­ние эле­мен­тов вто­рой диа­го­на­ли. Вто­рая диа­го­наль начи­на­ет­ся в левом ниж­нем углу и идёт в пра­вый верх­ний угол.

Считаем определитель третьего порядка: 4-й этап — вторая диагональ Счи­та­ем опре­де­ли­тель тре­тье­го поряд­ка: 4-й этап — вто­рая диагональ 

Вычи­та­ем про­из­ве­де­ние эле­мен­тов тре­тье­го тре­уголь­ни­ка, в кото­ром осно­ва­ние — эле­мен­ты А₁₂ и А₂₁, а вер­ши­на — А₃₃.

Считаем определитель третьего порядка: 5-й этап — третий треугольник Счи­та­ем опре­де­ли­тель тре­тье­го поряд­ка: 5-й этап — тре­тий треугольник 

Послед­ний шаг: вычи­та­ем про­из­ве­де­ние чет­вёр­то­го тре­уголь­ни­ка, с осно­ва­ни­ем из эле­мен­тов А₂₃ и А₃₂ и вер­ши­ной А₁₁.

Считаем определитель третьего порядка: 6-й этап — четвёртый треугольник Счи­та­ем опре­де­ли­тель тре­тье­го поряд­ка: 6-й этап — чет­вёр­тый треугольник 

Общий вид формулы для расчёта определителя третьего порядка Общий вид фор­му­лы для рас­чё­та опре­де­ли­те­ля тре­тье­го порядка 

Пример расчёта определителя третьего порядка При­мер рас­чё­та опре­де­ли­те­ля тре­тье­го порядка 

Второе действие: находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений

Транс­по­ни­ро­ван­ная мат­ри­ца алгеб­ра­и­че­ских допол­не­ний вычис­ля­ет­ся в три шага: 

  1. Мы из исход­ной мат­ри­цы нахо­дим мат­ри­цу миноров. 
  2. Меня­ем в мат­ри­це мино­ров знак неко­то­рых эле­мен­тов и полу­ча­ем мат­ри­цу алгеб­ра­и­че­ских дополнений. 
  3. Нахо­дим транс­по­ни­ро­ван­ную мат­ри­цу из мат­ри­цы алгеб­ра­и­че­ских дополнений. 

Алго­ритм вычис­ле­ний мат­ри­цы мино­ров и мат­ри­цы алгеб­ра­и­че­ских допол­не­ний зави­сит от раз­ме­ра исход­ной мат­ри­цы — чем она боль­ше, тем слож­нее фор­му­ла рас­чё­та. Поэто­му мы рас­смат­ри­ва­ем толь­ко мат­ри­цы вто­ро­го и тре­тье­го порядка. 

Что­бы най­ти мат­ри­цу мино­ров вто­ро­го поряд­ка, нам нуж­но после­до­ва­тель­но зачерк­нуть три эле­мен­та исход­ной матрицы: 

  • Вычёр­ки­ва­ем первую стро­ку и пер­вый стол­бец исход­ной мат­ри­цы — полу­ча­ем пер­вый эле­мент пер­вой стро­ки мат­ри­цы миноров. 
  • Вычёр­ки­ва­ем первую стро­ку и вто­рой стол­бец — полу­ча­ем вто­рой эле­мент пер­вой стро­ки мат­ри­цы миноров. 
  • Вычёр­ки­ва­ем вто­рую стро­ку и пер­вый стол­бец — полу­ча­ем пер­вый эле­мент вто­рой стро­ки мат­ри­цы миноров. 
  • Вычёр­ки­ва­ем вто­рую стро­ку и вто­рой стол­бец — полу­ча­ем вто­рой эле­мент вто­рой стро­ки мат­ри­цы миноров. 

Когда мат­ри­ца мино­ров состав­ле­на — меня­ем зна­ки эле­мен­тов вто­рой диа­го­на­ли и полу­ча­ем мат­ри­цу алгеб­ра­и­че­ских допол­не­ний. Теперь берём эту мат­ри­цу и про­во­дим транс­по­ни­ро­ва­ние — меня­ем рас­по­ло­же­ние строк и столб­цов. Готово.

Пример вычисления матрицы миноров из матрицы второго порядка При­мер вычис­ле­ния мат­ри­цы мино­ров из мат­ри­цы вто­ро­го порядка 

Пример вычисления матрицы алгебраических дополнений (Aᵢⱼ ) из матрицы миноров второго порядка При­мер вычис­ле­ния мат­ри­цы алгеб­ра­и­че­ских допол­не­ний (Aᵢⱼ ) из мат­ри­цы мино­ров вто­ро­го порядка 

Пример вычисления транспонированной матрицы алгебраических дополнений (Aᵀᵢⱼ), полученной из матрицы миноров второго порядка При­мер вычис­ле­ния транс­по­ни­ро­ван­ной мат­ри­цы алгеб­ра­и­че­ских допол­не­ний (Aᵀᵢⱼ), полу­чен­ной из мат­ри­цы мино­ров вто­ро­го порядка 

Мат­ри­ца мино­ров тре­тье­го поряд­ка рас­счи­ты­ва­ет­ся по сле­ду­ю­ще­му принципу: 

  1. После­до­ва­тель­но вычёр­ки­ва­ем стро­ки и столбцы. 
  2. Полу­ча­ем четы­ре эле­мен­та и счи­та­ем определитель. 
  3. Запи­сы­ва­ем резуль­тат в мат­ри­цу мино­ров тре­тье­го порядка. 

Что­бы не запо­ми­нать поря­док вычёр­ки­ва­ния эле­мен­тов — попро­буй­те схему: 

  1. Опре­де­ли­те эле­мент, кото­рый вы ище­те для мат­ри­цы. Пусть это будет A₁₁.
  2. Най­ди­те этот же эле­мент в исход­ной мат­ри­це и отметь­те его точкой. 
  3. Про­ве­ди­те от этой точ­ки две линии: вдоль стро­ки и вдоль столбца. 

После вычёр­ки­ва­ния оста­нет­ся квад­рат­ная двух­раз­мер­ная мат­ри­ца, опре­де­ли­тель кото­рой равен раз­но­сти про­из­ве­де­ний двух диагоналей.

Пример вычисления первого элемента матрицы миноров из матрицы третьего порядка. Треугольник, или греческая дельта, — это обозначение определителя вне матрицы При­мер вычис­ле­ния пер­во­го эле­мен­та мат­ри­цы мино­ров из мат­ри­цы тре­тье­го поряд­ка. Тре­уголь­ник, или гре­че­ская дель­та, — это обо­зна­че­ние опре­де­ли­те­ля вне матрицы 

Мат­ри­цу мино­ров тре­тье­го поряд­ка удоб­но нахо­дить на бума­ге с помо­щью руч­ки, каран­да­ша и ласти­ка — запи­сы­ва­е­те исход­ную мат­ри­цу, каран­да­шом вычёр­ки­ва­е­те линии, счи­та­е­те опре­де­ли­тель, выти­ра­е­те линии и повто­ря­е­те про­це­ду­ру. Реко­мен­ду­ем попро­бо­вать и све­рить резуль­тат с наши­ми расчётами. 

1-я стро­ка 1-й элемент: 

Δ = 5×1 - 8×6 = -43

1-я стро­ка 2-й элемент: 

Δ = 4×1 - 7×6 = -38

1-я стро­ка 3-й элемент: 

Δ = 4×8 - 7×5 = -3

2-я стро­ка 1-й элемент: 

Δ = 2×1 - 8×3 = -22

2-я стро­ка 2-й элемент: 

Δ = 1×1 - 7×3 = -20

2-я стро­ка 3-й элемент: 

Δ = 1×8 - 7×2 = -6

3-я стро­ка 1-й элемент: 

Δ = 2×6 - 5×3 = -3

3-я стро­ка 2-й элемент: 

Δ = 1×6 - 4×3 = -6

3-я стро­ка 3-й элемент: 

Δ = 1×5 - 4×2 = -3

Счи­та­ем мат­ри­цу алгеб­ра­и­че­ских допол­не­ний: берём мат­ри­цу мино­ров и меня­ем на про­ти­во­по­лож­ный знак в четы­рёх эле­мен­тах — изме­ня­ем А₁₂, А₂₁, А₂₃ и А₃₂. Транс­по­ни­ру­ем полу­чен­ную мат­ри­цу и можем пере­хо­дить к послед­не­му действию.

Получаем из матрицы третьего порядка матрицу миноров Полу­ча­ем из мат­ри­цы тре­тье­го поряд­ка мат­ри­цу миноров 

Меняем знаки в матрице миноров и получаем матрицу алгебраических дополнений (Aᵢⱼ) Меня­ем зна­ки в мат­ри­це мино­ров и полу­ча­ем мат­ри­цу алгеб­ра­и­че­ских допол­не­ний (Aᵢⱼ)

Пример вычисления транспонированной матрицы алгебраических дополнений (Aᵀᵢⱼ), полученной из матрицы миноров третьего порядка При­мер вычис­ле­ния транс­по­ни­ро­ван­ной мат­ри­цы алгеб­ра­и­че­ских допол­не­ний (Aᵀᵢⱼ), полу­чен­ной из мат­ри­цы мино­ров тре­тье­го порядка 

Третье действие: считаем обратную матрицу

Мы нашли все ком­по­нен­ты для вычис­ле­ния обрат­ной мат­ри­цы. Оста­лось их под­ста­вить в фор­му­лу, пере­мно­жить и запи­сать ответ:

Пример вычисления обратной матрицы второго порядка: мы внесли дробь в матрицу, но могли этого не делать — просто так захотелось При­мер вычис­ле­ния обрат­ной мат­ри­цы вто­ро­го поряд­ка: мы внес­ли дробь в мат­ри­цу, но мог­ли это­го не делать — про­сто так захотелось 

Пример вычисления обратной матрицы третьего порядка При­мер вычис­ле­ния обрат­ной мат­ри­цы тре­тье­го поряд­ка: мы оста­ви­ли дробь за пре­де­ла­ми мат­ри­цы и вынес­ли из мат­ри­цы минус. Мат­ри­ца — это таб­ли­ца с чис­ла­ми, поэто­му не обра­щай­те вни­ма­ние, если чис­ла полу­ча­ют­ся боль­ши­ми или неудобными 

Господи, зачем всё это?

Мы пони­ма­ем, что это всё кажет­ся совер­шен­но ото­рван­ным от жиз­ни. Какие-то мино­ры, детер­ми­нан­ты, о чём вооб­ще речь? 

Смот­ри­те: 

  • Вам не нуж­но уметь решать все эти урав­не­ния само­сто­я­тель­но. Для это­го дав­но есть мощ­ные алгоритмы. 
  • Доста­точ­но пони­мать, из чего всё это скла­ды­ва­ет­ся. Вот мат­ри­ца. Вот некий алго­ритм, кото­рый дела­ет из этой мат­ри­цы какую-то дру­гую мат­ри­цу. Это всё про­сто ариф­ме­ти­ка, чис­ла туда, чис­ла сюда. 
  • В кон­це это­го пути мы пока­жем, как из этих куби­ков собра­но машин­ное обу­че­ние. И вы уви­ди­те, что машин­ное обу­че­ние — это про­сто мно­го алгеб­ры. Про­сто ариф­ме­ти­ка, чис­ла туда, чис­ла сюда.
  • И вы пони­ма­е­те, что ника­ко­го искус­ствен­но­го интел­лек­та не суще­ству­ет. Это всё, от нача­ла и до кон­ца, рабо­та с чис­ла­ми и рас­чё­ты по фор­му­лам. Про­сто когда это дела­ет­ся в боль­ших мас­шта­бах, созда­ёт­ся иллю­зия осмыс­лен­ной дея­тель­но­сти. Клю­че­вое сло­во — иллюзия. 

Спо­кой­ствие, всё будет хорошо. 

Текст:

Алек­сандр Бабаскин

Редак­ту­ра:

Мак­сим Ильяхов

Худож­ник:

Даня Бер­ков­ский

Кор­рек­тор:

Ири­на Михеева

Вёрст­ка:

Мария Дро­но­ва

Соц­се­ти:

Олег Веш­кур­цев