Операции с векторами
Знакомимся с вектором
Операции с векторами
Векторы: третий уровень сложности Знакомство с матрицами

Мы посте­пен­но пока­зы­ва­ем вам мате­ма­ти­ку за пре­де­ла­ми школь­ной про­грам­мы. Начи­на­ли со зна­ком­ства с век­то­ра­ми, теперь сде­ла­ем сле­ду­ю­щий шаг. 

Напом­ним основ­ные мысли: 

  • Век­тор — это абстракт­ное поня­тие, кото­рое пред­став­ля­ет собой орга­ни­зо­ван­ную после­до­ва­тель­ность каких-то чисел.
  • В виде век­то­ра мож­но пред­ста­вить коор­ди­на­ты пред­ме­та в каком-то про­стран­стве; пло­щадь квар­ти­ры и её сто­и­мость; циф­ро­вые дан­ные анке­ты какого-то чело­ве­ка и дина­ми­ку цен на нефть.
  • Если по-простому, то век­то­ры нуж­ны, что­бы обра­ба­ты­вать боль­шое коли­че­ство орга­ни­зо­ван­ных чисел. Пред­ставь­те, что век­тор — это короб­ка с кон­фе­та­ми, толь­ко вме­сто кон­фет — чис­ла. Каж­дое чис­ло сто­ит в сво­ей ячейке.
  • Машин­ное обу­че­ние осно­ва­но на пере­мно­же­нии мат­риц, кото­рые, в свою оче­редь, мож­но пред­ста­вить как набо­ры век­то­ров. Так что век­то­ры лежат в глу­бине всех мод­ных и моло­дёж­ных тех­но­ло­гий ИИ.

С век­то­ра­ми мож­но совер­шать неко­то­рые мате­ма­ти­че­ские опе­ра­ции. Вот о них и поговорим. 

Правильно — векторы

Мате­ма­ти­ки часто гово­рят во мно­же­ствен­ном чис­ле «век­то­ра», но по сло­ва­рю пра­виль­но «век­то­ры». Это такой про­фес­си­о­наль­ный жар­гон, как «дого­во­ра», «бух­гал­те­ра» и «сер­ве­ра». Мы будем исполь­зо­вать «век­то­ры», но если вы ока­же­тесь в пост­ко­вид­ном мате­ма­ти­че­ском баре, луч­ше гово­ри­те «век­то­ра». 

Сложение

Пред­ста­вим четы­ре век­то­ра, кото­рые лежат в двух­мер­ном про­стран­стве и пока что не свя­за­ны меж­ду собой. Нари­су­ем эти век­то­ры и обо­зна­чим их бук­ва­ми X, Y, Z, K. 

Посколь­ку век­то­ры нахо­дят­ся в одном про­стран­стве, коор­ди­на­ты каж­до­го состо­ят из оди­на­ко­во­го коли­че­ства чисел. У нас при­мер с двух­мер­ным про­стран­ством и два чис­ла. Выгля­деть это будет так: X = (6, 4); Y = (3, −2); Z = (−7, −5); K = (−10, 4).

Операции с векторами Век­то­ры X, Y, Z, K в двух­мер­ном пространстве 

Если у нас несколь­ко век­то­ров с оди­на­ко­вым коли­че­ством чисел, то эти чис­ла мож­но поэле­мент­но скла­ды­вать. Для это­го мы берём пер­вое чис­ло одно­го век­то­ра, скла­ды­ва­ем его с пер­вым чис­лом дру­го­го век­то­ра и так далее. 

Пред­по­ло­жим, нам нуж­но сло­жить век­то­ры X и Y. 

X = (6, 4)

Y = (3, −2)

X + Y = (9, 2)

Вро­де про­сто: скла­ды­ва­ешь после­до­ва­тель­но все коор­ди­на­ты, резуль­та­ты сло­же­ния скла­ды­ва­ешь в исход­ные коро­боч­ки. Так мож­но делать с любым коли­че­ством коор­ди­нат. Помни­те, что век­тор — это необя­за­тель­но стрел­ка в дву­мер­ном про­стран­стве. Она может быть и в деся­ти­мер­ном про­стран­стве — с точ­ки зре­ния мате­ма­ти­ки это неважно.

Напри­мер, вот сло­же­ние век­то­ров с пятью координатами: 

X = (6, 4, 11, 14, 99)

Y = (3, -2, 10, -10, 1)

X + Y = (9, 2, 21, 4, 100)

Интуитивное изображение сложения

Для инту­и­тив­но­го вос­при­я­тия удоб­но исполь­зо­вать век­то­ры с дву­мя коор­ди­на­та­ми. Их удоб­но рисо­вать на коор­ди­нат­ной плос­ко­сти и таким обра­зом смот­реть на геометрию.

Напри­мер, мож­но на плос­ко­сти пока­зать, как будет рабо­тать сло­же­ние двух век­то­ров. Для это­го есть два мето­да: метод тре­уголь­ни­ка и метод параллелограмма. 

Метод тре­уголь­ни­ка: ста­вим век­то­ры Х и Y в оче­редь друг за дру­гом. Для это­го берём век­тор Х, ста­вим за ним век­тор Y и полу­ча­ем новый век­тор. Новый век­тор начи­на­ет­ся в хво­сте век­то­ра Х и закан­чи­ва­ет­ся на стрел­ке век­то­ра Y. Этот век­тор — резуль­тат сло­же­ния. Пред­ставь­те, что это ребё­но­чек двух векторов.

Операции с векторами Сло­же­ние век­то­ров по мето­ду тре­уголь­ни­ка: X = (6, 4); Y = (3, −2); Х + Y = (9, 2) 

Что­бы вос­поль­зо­вать­ся мето­дом парал­ле­ло­грам­ма, нам нуж­но поста­вить век­то­ры Х и Y в одну исход­ную точ­ку. Даль­ше мы дуб­ли­ру­ем век­то­ры Х и Y, фор­ми­ру­ем парал­ле­ло­грамм и полу­ча­ем новый век­тор. В новом век­то­ре соеди­ня­ем исход­ную точ­ку с исход­ной точ­кой дуб­ли­ру­ю­щих век­то­ров — стрел­ка про­хо­дит посе­ре­дине парал­ле­ло­грам­ма. Дли­на ново­го век­то­ра — это сум­ма век­то­ров Х и Y. 

Сло­же­ние по мето­ду парал­ле­ло­грам­ма и тре­уголь­ни­ка даёт оди­на­ко­вый резуль­тат. Поэто­му выби­рай­те вари­ант, кото­рый боль­ше под­хо­дит под задачу.

Операции с векторами Сло­же­ние век­то­ров по мето­ду парал­ле­ло­грам­ма: X = (6, 4); Y = (3, -2); Х + Y = (9, 2) 

Вычитание

Вычи­та­ние век­то­ров немно­го слож­нее. Что­бы вычесть век­то­ры, нуж­но «раз­вер­нуть» вычи­та­е­мый век­тор и сло­жить его с исход­ным. «Раз­вер­нуть» — то есть напра­вить в обрат­ную сто­ро­ну, «пере­вер­нув» зна­ки коор­ди­нат. Полу­чит­ся кон­струк­ция вро­де такой: Х + (−Y)

Даль­ше исполь­зу­ют­ся пра­ви­ла сло­же­ния. Поша­го­во это выгля­дит так: 

  1. У нас есть X = (6, 4) и Y = (3, −2). 
  2. Пре­вра­ща­ем фор­му­лу Х − Y в фор­му­лу Х + (−Y). 
  3. Раз­во­ра­чи­ва­ем век­тор Y. Было: Y = (3, −2). Ста­ло: −Y = (−3, 2).
  4. Счи­та­ем: X + (−Y) = (3, 6). 

Теперь посмот­рим, как выгля­дит вычи­та­ние век­то­ров на графике:

Операции с векторами Вычи­та­ние век­то­ров по мето­ду тре­уголь­ни­ка: X = (6, 4); −Y = (−3, 2); X + (−Y) = (3, 6) 
Операции с векторами Вычи­та­ние век­то­ров по мето­ду парал­ле­ло­грам­ма: X = (6, 4); −Y = (−3, 2); X + (−Y) = (3, 6) 

Длина вектора 

Дли­на век­то­ра — это одно чис­ло, кото­рое изме­ря­ет­ся рас­сто­я­ни­ем от кон­чи­ка до стрел­ки век­то­ра. Дли­ну век­то­ра нель­зя путать с коор­ди­на­та­ми. Коор­ди­на­ты — это несколь­ко чисел, кото­рые ука­зы­ва­ют на рас­по­ло­же­ние стрел­ки век­то­ра. По коор­ди­на­там мож­но опре­де­лить толь­ко конеч­ную точ­ку век­то­ра. Напри­мер, если X = (6, 2), то стрел­ка будет нахо­дить­ся в точ­ке 6 по оси Х. Или дру­гой при­мер: если Y = (6, 5), то стрел­ка это­го век­то­ра будет нахо­дить­ся в точ­ке 5 по оси Y. 

Пред­по­ло­жим, нам извест­ны началь­ные точ­ки век­то­ров X и Y. Пусть это будет точ­ка 2 по оси X и точ­ка 2 по оси Y. Так мы можем лег­ко посчи­тать дли­ну отрезков: 

X = 6 − 2 = 4

Y = 5 − 2 = 3

Ино­гда при­хо­дит­ся рас­счи­ты­вать дли­ну тре­тье­го век­то­ра, кото­рый при­вя­зан к двум дру­гим век­то­рам. Это лег­ко сде­лать с помо­щью тео­ре­мы Пифа­го­ра — это когда квад­рат гипо­те­ну­зы равен сум­ме квад­ра­тов кате­тов. В нашем слу­чае кате­та­ми будут дли­ны век­то­ров X и Y. Вспо­ми­на­ем школь­ную фор­му­лу и считаем:

|C|2 = 42 + 32 = 25

|C| = √25 = 5

Операции с векторами Дли­на век­то­ра счи­та­ет­ся по фор­му­ле пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка. Что­бы было про­ще пред­ста­вить — пере­не­си­те век­то­ры на систе­му координат 

Это фор­му­ла для дву­мер­но­го про­стран­ства. В трёх­мер­ном про­стран­стве фор­му­ла похо­жая: нуж­но сло­жить квад­ра­ты трёх коор­ди­нат и вычис­лить квад­рат­ный корень из суммы. 

Операции с векторами

В про­стран­стве с боль­шим чис­лом изме­ре­ний фор­му­ла выгля­дит слож­нее, но по сути то же: скла­ды­ва­ем все квад­ра­ты коор­ди­нат и полу­ча­ем квад­рат­ный корень из этой суммы.

Операции с векторами

Умножение и деление вектора на число 

Умно­же­ние и деле­ние поз­во­ля­ют изме­нить дли­ну и направ­ле­ние век­то­ра. Если мы умно­жим век­тор Х на три, то уве­ли­чим его дли­ну в три раза. Если умно­жим на минус три — уве­ли­чим дли­ну и изме­ним его направ­ле­ние на противоположное. 

Операции с векторами Умно­же­ние век­то­ра на число 

Для деле­ния сохра­ня­ют­ся ана­ло­гич­ные пра­ви­ла. Делим век­тор Х на три и сокра­ща­ем дли­ну в три раза. Делим на минус три — сокра­ща­ем и разворачиваем.

Операции с векторами Деле­ние век­то­ра на число 

Да вроде несложно!

Пока ниче­го слож­но­го. Но если углуб­лять­ся, вы узна­е­те, что: 

  • век­то­ры мож­но умно­жать на век­то­ры тре­мя спо­со­ба­ми в зави­си­мо­сти от зада­чи и от того, что мы пони­ма­ем под умножением;
  • если от век­то­ров перей­ти к мат­ри­цам, то пере­мно­же­ние мат­риц име­ет несколь­ко более слож­ную и доволь­но неин­ту­и­тив­ную математику;
  • а пере­мно­же­ние мат­риц — это и есть машин­ное обучение. 

Что дальше

В сле­ду­ю­щей ста­тье рас­смот­рим линей­ную зави­си­мость век­то­ров. Что­бы не ску­чать — посмот­ри­те интер­вью с Ана­ста­си­ей Нику­ли­ной. Ана­ста­сия сеньор-дата-сайентист в Рос­бан­ке и по сов­ме­сти­тель­ству бло­гер с инте­рес­ной историей. 

Текст:
Алек­сандр Бабаскин

Редак­тор:
Мак­сим Ильяхов

Иллю­стра­тор:
Даня Бер­ков­ский

Кор­рек­тор:
Ира Михе­е­ва

Вёрст­ка:
Маша Дро­но­ва

Соц­се­ти:
Олег Веш­кур­цев