Векторы: третий уровень сложности
Знакомимся с вектором Операции с векторами
Векторы: третий уровень сложности
Знакомство с матрицами

Для боль­шин­ства людей искус­ствен­ный интел­лект — это нечто слож­ное и таин­ствен­ное. А для мате­ма­ти­ков это сино­ним фра­зы «пере­мно­же­ние мат­риц». С точ­ки зре­ния чело­ве­ка, кото­рый вла­де­ет линей­ной алгеб­рой, в искус­ствен­ном интел­лек­те нет ниче­го загадочного.

Мы хотим, что­бы вы тоже смог­ли понять искус­ствен­ный интел­лект на уровне мате­ма­ти­ки. Для это­го у нас идёт цикл ста­тей про линей­ную алгебру:

Сама тема неслож­ная, но кон­крет­но этот шаг вам ниче­го не даст в прак­ти­че­ском смыс­ле. Но если вам хва­тит тер­пе­ния, на базе этих зна­ний мы уже перей­дём к матрицам. 

Что за коллинеарность

Пред­ставь­те два век­то­ра, кото­рые нахо­дят­ся в одной плос­ко­сти и рас­по­ла­га­ют­ся парал­лель­но друг дру­гу. При этом у них может быть раз­ная дли­на. Такое рас­по­ло­же­ние дела­ет связ­ку век­то­ров кол­ли­не­ар­ны­ми, или, по-простому, линей­но зависимыми. 

И наобо­рот: если век­то­ра нахо­дят­ся в одной плос­ко­сти и рас­по­ла­га­ют­ся не парал­лель­но друг отно­си­тель­но дру­га, то их счи­та­ют линей­но неза­ви­си­мы­ми — некол­ли­не­ар­ны­ми. Пока что ниче­го сложного.

Коллинеарные векторы Кол­ли­не­ар­ные векторы 
Неколлинеарные векторы Некол­ли­не­ар­ные векторы 

Сложение коллинеарных и неколлинеарных векторов

Оче­вид­но, что сло­жить два кол­ли­не­ар­ных век­то­ра очень лег­ко: откла­ды­ва­ем вто­рой век­тор от нача­ла пер­во­го, полу­чит­ся новый век­тор. Он будет кол­ли­не­ар­ным сво­им сла­га­е­мым, они все будут лежать, гру­бо гово­ря, на одной линии. 

Мож­но пред­ста­вить, что вы идё­те пря­мо: каж­дый ваш шаг — это век­тор. Каж­дый новый шаг — новый век­тор. Но если все их сло­жить, полу­чит­ся один боль­шой пря­мой век­тор дли­ной как все ваши шаги. 

Теперь попро­бу­ем сло­жить пару некол­ли­не­ар­ных век­то­ров. Это как если бы мы сна­ча­ла сде­ла­ли шаг немно­го пра­вее, а потом сде­ла­ли бы шаг вле­во. Шага два, но если соеди­нить нача­ло и конец пути, он не будет сов­па­дать с тра­ек­то­ри­я­ми наших шагов. Появит­ся какой-то новый век­тор, с новым направ­ле­ни­ем, и он будет некол­ли­не­ар­ным по отно­ше­нию к сво­им слагаемым. 

Так­же пару некол­ли­не­ар­ных век­то­ров из одной плос­ко­сти мож­но рас­тя­нуть и раз­вер­нуть в про­стран­стве. Если их сло­жить, так­же появит­ся новый вектор.

У мате­ма­ти­ков такой век­тор назы­ва­ют бази­сом. Когда базис нахо­дит­ся на плос­ко­сти или в про­стран­стве, то он может един­ствен­ным обра­зом пре­вра­щать­ся обрат­но в пару некол­ли­не­ар­ных век­то­ров, кото­рые его сформировали.

Пра­ви­ло рабо­та­ет, когда мы мас­шта­би­ру­ем и меня­ем рас­по­ло­же­ние век­то­ров в про­стран­стве. Если мы изме­ним направ­ле­ние исход­ных век­то­ров, то полу­чим новый базис. 

Базис — поня­тие из выс­шей мате­ма­ти­ки, поэто­му, если сей­час слож­но, не отча­и­вай­тесь. Студенты-математики когда-то тоже отчаивались.

Сложение коллинеарных и неколлинеарных векторов Мы изме­ни­ли пару некол­ли­не­ар­ных век­то­ров и сфор­ми­ро­ва­ли из них базис — полу­чи­ли новый фио­ле­то­вый век­тор с соб­ствен­ной систе­мой координат 
Сложение коллинеарных и неколлинеарных векторов Теперь мы изме­ни­ли исход­ные некол­ли­не­ар­ные век­то­ры и полу­чи­ли новый базис — это оран­же­вый вектор 

Как определять неколлинеарность

Когда мы рабо­та­ем с корот­ки­ми век­то­ра­ми, всё оче­вид­но: нари­со­ва­ли систе­му коор­ди­нат, отло­жи­ли на ней век­то­ры, они либо сов­па­ли, либо не сов­па­ли. Если сов­па­ли — кол­ли­не­ар­ные, если нет — неколлинеарные. 

А теперь пред­ставь­те, что век­то­ра настоль­ко огром­ные, что мы физи­че­ски не можем их нари­со­вать и сопо­ста­вить. Например, 

Векторы: третий уровень сложности

Как такое нари­со­вать? Как про­ве­рить кол­ли­не­ар­ность? Вот тут начи­на­ет­ся магия алгебры. 

Есть три спо­со­ба про­вер­ки линей­ной зави­си­мо­сти век­то­ров. Для про­сто­ты вычис­ле­ний про­ве­рим эти три спо­со­ба на вот этих всё ещё про­стых векторах:

Векторы: третий уровень сложности

По этим коор­ди­на­там отве­тим на два вопро­са: явля­ют­ся ли пред­ло­жен­ные век­то­ра линей­но зави­си­мы­ми (то есть кол­ли­не­ар­ны­ми) и мож­но ли их рас­кла­ды­вать по базису. 

Пер­вый спо­соб. Запи­шем про­стую систе­му урав­не­ний: возь­мём первую коор­ди­на­ту каж­до­го век­то­ра и при­рав­ня­ем её ко вто­рой коор­ди­на­те каж­до­го век­то­ра, умно­жен­ной на неиз­вест­ное чис­ло λ. Вычис­лим λ и срав­ним результаты. 

👉 Знак λ здесь по тра­ди­ции и для удоб­ства. На самом деле это про­сто некое неиз­вест­ное чис­ло. Вме­сто этой бук­вы мог­ли быть X, Y, Z или N, но так как у нас век­то­ра уже назы­ва­ют­ся X и Y, а N в мате­ма­ти­ке исполь­зу­ет­ся для дру­гих целей, возь­мём λ — это гре­че­ская бук­ва «лямб­да», дав­ний пре­док нашей рус­ской бук­вы «Л». 

Состав­ля­ем систе­му уравнений: 

Векторы: третий уровень сложности

Вычис­ля­ем зна­че­ние λ:

Векторы: третий уровень сложности

Срав­ни­ва­ем резуль­тат и дела­ем вывод: 

Векторы: третий уровень сложности

Мы полу­чи­ли раз­ное зна­че­ние для неиз­вест­но­го чис­ла λ и поэто­му наши век­то­ры будут счи­тать­ся линей­но неза­ви­си­мы­ми. Из них мож­но полу­чить базис. 

Если бы зна­че­ние λ сов­па­ло, то мы бы име­ли дело с линей­но зави­си­мы­ми векторами. 

Вто­рой спо­соб. Про­ве­ря­ем коор­ди­на­ты век­то­ров на про­пор­ци­о­наль­ность: берём первую коор­ди­на­ту пер­во­го век­то­ра, делим её на первую коор­ди­на­ту вто­ро­го век­то­ра. Повто­ря­ем это же дей­ствие со вто­ры­ми коор­ди­на­та­ми: берём вто­рую коор­ди­на­ту пер­во­го век­то­ра и делим её на вто­рую коор­ди­на­ту вто­ро­го вектора. 

Полу­ча­ем такую пропорцию: 

Векторы: третий уровень сложности

Счи­та­ем зна­че­ние и срав­ни­ва­ем результат: 

Векторы: третий уровень сложности

Равен­ство не выпол­ня­ет­ся, и поэто­му меж­ду век­то­ра­ми нет зависимости. 

Тре­тий спо­соб. Исполь­зу­ем четы­ре эле­мен­та наших коор­ди­нат для поис­ка опре­де­ли­те­ля — ска­ляр­ной вели­чи­ны, с кото­рой мы подроб­но позна­ко­мим­ся в сле­ду­ю­щих ста­тьях во вре­мя реше­ния мат­рич­ных урав­не­ний. Сей­час нам не нуж­ны подроб­но­сти, и для про­вер­ки линей­ной зави­си­мо­сти доста­точ­но формулы. 

Запи­сы­ва­ем в две стро­ки коор­ди­на­ты наших векторов: 

Векторы: третий уровень сложности

Пере­во­дим коор­ди­на­ты век­то­ров в опре­де­ли­тель — добав­ля­ем с двух сто­рон вер­ти­каль­ную чер­ту и полу­ча­ем про­стую квад­рат­ную мат­ри­цу раз­ме­ром 2 на 2:

Векторы: третий уровень сложности

В полу­чен­ной мат­ри­це две диа­го­на­ли. Чис­ла −6 и −1 обра­зу­ют глав­ную диа­го­наль; чис­ла −4 и 5 — вто­рую диа­го­наль. Что­бы най­ти опре­де­ли­тель, нам нуж­но умно­жить чис­ла глав­ной и вто­рой диа­го­на­ли, а затем вычесть их разницу. 

Векторы: третий уровень сложности

Если из коор­ди­нат век­то­ра мы полу­чи­ли опре­де­ли­тель и он не равен нулю, то век­то­ры счи­та­ют­ся линей­но неза­ви­си­мы­ми и под­хо­дят для раз­ло­же­ния по базису. 

И наобо­рот: нуле­вой опре­де­ли­тель ука­зы­ва­ет на линей­ную зави­си­мость векторов.

Что из этого нужно запомнить

  • С точ­ки зре­ния век­то­ров важ­но, они сона­прав­лен­ные или нет. По-другому — они кол­ли­не­ар­ны или нет.
  • Кол­ли­не­ар­ность вли­я­ет на то, что мож­но делать с эти­ми век­то­ра­ми. Напри­мер, некол­ли­не­ар­ные век­то­ры мож­но раз­ло­жить по базису.
  • Базис — это век­тор, кото­рый мож­но раз­ло­жить на те самые некол­ли­не­ар­ные векторы. 
  • Кол­ли­не­ар­ность лег­ко про­ве­ря­ет­ся через урав­не­ния. Стро­ить век­то­ры на коор­ди­нат­ной плос­ко­сти необязательно.

Что дальше

Сле­ду­ю­щий шаг — мат­ри­цы. Это те самые, кото­рые лежат в осно­ве всех ней­ро­нок и искус­ствен­но­го интел­лек­та. Мат­ри­ца — это таб­ли­ца чисел, с кото­ры­ми мож­но про­во­дить раз­лич­ные вычисления.

Текст:

Алек­сандр Бабаскин

Редак­ту­ра:

Мак­сим Ильяхов

Худож­ник:

Даня Бер­ков­ский

Кор­рек­тор:

Ири­на Михеева

Вёрст­ка:

Мария Дро­но­ва

Соц­се­ти:

Олег Веш­кур­цев