Эту задачку задают старшеклассникам во Франции, теперь ваша очередь.
Есть трёхзначное число N. Если переставить в разном порядке цифры, из которых состоит это число, мы получим пять новых трёхзначных чисел. Если сложить эти пять новых чисел, мы получим число, которое равно сумме 2022.
Так что это за изначальное трёхзначное число?
Так как исходное число N состоит из трёх цифр, его можно записать как abc, где a, b и с — какие-то цифры.
Если переставить эти цифры в разном порядке и учесть все возможные комбинации, то получим как раз пять новых чисел:
- acb
- bac
- bca
- cab
- cba
Теперь сложим их, чтобы получить 2022:
acb + bac + bca + cab + cba = 2022
Прибавим к обеим частям изначальное число N:
acb + bac + bca + cab + cba + N = 2022 + N
Но раз N = abc, то:
acb + bac + bca + cab + cba + abc = 2022 + abc
Так как каждая цифра отвечает за свой разряд (сотни, десятки и единицы), это равенство можно представить так:
(100a + 10с + b) + (100b + 10a + c) + (100b + 10c + a) + (100c + 10a + b) + (100c +10b + a) + (100a + 10b + c) = 2022 + abc
Раскроем скобки и сгруппируем значения по буквам:
(100a + 10a + a + 10a + a + 100a) + (b + 100b + 100b + b + 10b + 10b) + (10c + c + 10c + 100c + 100c + c) = 2022 + abc
222a + 222b + 222c = 2022 + abc
222(a + b + c) = 2022 + abc
А вот теперь наступает самое интересное.
У нас есть умножение на 222, поэтому давайте проверим, какой минимальный и максимальный множитель может быть в скобках. Допустим, минимальное наше трёхзначное число — 123 (чтобы не было ноля, из-за которого некоторые перестановки станут двузначными):
(2022 + 123) / 222 = 9,66 (ближайшее целое к этому вверх — 10)
И точно так же проверим максимальное трёхзначное число — 987:
(2022 + 987) / 222 = 13,55 (ближайшее целое вверх — 14)
Это значит, что у нас всего 5 значений множителя 222, которые нам подходят (и это же будет суммой a + b + c):
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
Теперь пустим в ход нехитрую математику и посмотрим, какой результат даёт умножение этих чисел на 222. Заодно сразу подставим это в такую формулу (перенесём число 2022 влево):
222(a + b + c) = 2022 + abc
222(a + b + c) − 2022 = abc
И чтобы перепроверить себя, также сразу посчитаем сумму цифр, из которых состоит результат.
Поехали:
- 222 × 10 − 2022 = 2220 − 2022 = 198 (сумма цифр 1 + 9 + 8 = 18)
- 222 × 11 − 2022 = 2442 − 2022 = 420 (сумма цифр 4 + 2 + 0 = 6)
- 222 × 12 − 2022 = 2664 − 2022 = 642 (сумма цифр 6 + 4 + 2 = 12)
- 222 × 13 − 2022 = 2886 − 2022 = 864 (сумма цифр 8 + 6 + 4 = 18)
- 222 × 14 − 2022 = 3108 − 2022 = 1086 (вообще не трёхзначное число)
Как видим, только одно решение подходит под наше условие, когда сумма цифр равна 12, а исходное число — 642. Давайте это проверим: сделаем пять перестановок, сложим и посмотрим, что получится:
624 + 462 + 426 + 264 + 246 = 2022
Задача решена, мы молодцы!
