Ссылку на эту статью можете использовать, чтобы проверить базовые математические навыки любого человека. Кидаете ему ссылку и просите при вас (не читая решения) порешать какие угодно задачки. Все эти задачки уже у нас были в разное время в этом году. Поэтому если вы наш хардкорный читатель с самого марта, то можете спокойно медитировать следующие пять минут, это кайф.
Таракан на стене
В ваш подъезд двумя этажами ниже въехали новые жильцы, которые привезли с собой тараканов, но не привезли еды. Насекомые в поисках еды стали ползти вверх по вентиляционной шахте и скоро доберутся до вашей квартиры. Но карабкаться вверх им неудобно: за час они поднимаются на 1 м, но сразу после этого теряют равновесие и скатываются на ⅔ м вниз.
Вопрос: сколько часов у вас есть на покупку ловушек для тараканов, если расстояние от вас до соседей по вентиляционной шахте — 7 м?
За один полный час таракан проползает ⅓ м: поднимается на метр и опускается на ⅔:
1 — ⅔ = ⅓ м — проползает таракан за час.
С другой стороны, последний метр таракан проползёт тоже за 1 час: он доберётся до верха за 60 минут, но скатываться вниз ему уже не надо, потому что он достиг ровной поверхности. Значит, нужно узнать, сколько времени ему понадобится на оставшиеся 6 м:
7 м до вас — 1 м, который он проползёт за один заход = 6 м, которые таракан будет медленно ползти и скатываться.
Чтобы узнать оставшееся время, разделим расстояние на скорость:
6 м / ⅓ м в час = 18 часов.
Получается, что таракан проползёт 6 м за 18 часов, а оставшийся метр преодолеет за час, потому что скатываться уже не придётся. Получаем общее время:
18 + 1 = 19 часов.
Значит, у вас есть 19 часов на то, чтобы купить ловушки и гель от тараканов. Логика!
Долгий перелёт
Представьте, что вам нужно пару раз по работе слетать из Москвы во Владивосток и вернуться назад. Первый раз вы летите туда и обратно при полном штиле. Во второй раз при точно таком же перелёте в оба конца постоянно дует западный ветер одинаковой силы: туда попутный, а обратно — лобовой. Как изменится общее время полёта во втором случае: уменьшится, увеличится или останется таким же, как в первом случае?
Самая первая реакция на такую задачу — сказать, что время не изменится. Всё кажется логичным: когда летишь туда, ветер чуть ускоряет самолёт, а когда обратно — точно так же замедляет. Но это верно только наполовину.
В рамках задачи примем скорость самолёта за 800 километров в час. А ветер пусть дует со скоростью 100 километров в час. Мы знаем, что в реальных условиях всё намного сложнее и скорости нельзя складывать напрямую, но для упрощения допустим, что это возможно. Расстояние от Москвы до Владивостока по воздуху — 6 400 километров.
Первая командировка — без ветра
Если ветра нет, то у нас есть только скорость самолёта, которая не меняется в обоих случаях. Расстояние тоже одинаковое, значит время полёта будет неизменным в путешествии туда и обратно. Найдём его:
6 400 / 800 = 8 часов.
Это значит, что в безветренную погоду наш самолёт будет лететь из Москвы во Владивосток 8 часов, и столько же лететь обратно. В сумме — 16 часов.
Вторая командировка — дует постоянный ветер
Когда летишь во Владивосток и дует попутный ветер, самолёт и в самом деле летит быстрее: скорость последнего складывается со скоростью ветра.
800 + 100 = 900 (км/ч).
Тогда самолёт наше расстояние пройдёт за 7 часов 7 минут:
6 400 / 900 = 7,11 часа.
Когда летишь обратно и дует встречный ветер, то скорость самолёта падает:
800 - 100 = 700 (км/ч).
И путь обратно он с этой скоростью проделает уже за 9 часов 8 минут:
6 400 / 700 = 9,14 часа.
Получается, что общее время туда и обратно при таком ветре будет равно:
7 часов 7 минут + 9 часов 8 минут = 16 часов 15 минут.
Постоянный ветер увеличивает общее время полёта, и чем сильнее ветер — тем больше времени займёт полёт.
Если ветер будет дуть в 3 раза сильнее — 300 километров в час, то до Владивостока самолёт долетит за 5 часов 48 минут, а обратно ему потребуется уже 12 часов 48 минут, что в сумме даст 18 часов 36 минут.
Но почему?
Потому что математика:
6 400 / 800 + 6 400 / 800 = 16.
6 400 / 900 + 6 400 / 700 = 16,25.
Полторы белки
Полторы белки за полторы минуты съедают полтора ореха. Сколько орехов съедят 9 белок за 9 минут?
Первое, что хочется сразу ответить — 9 орехов. Но это было бы слишком просто.
Самое безумное в этой задаче — полторы белки. Давайте от них избавимся и будем дальше работать уже с целыми животными.
Дальше в решении будем исходить из того, что белки всё едят одновременно друг с другом, независимо от их количества. В обычной жизни так и происходит, и мы тоже будем придерживаться того же.
Узнаем, на что способна одна белка за полторы минуты:
1,5 белки за 1,5 минуты съедают 1,5 ореха → 1 белка за те же 1,5 минуты съест 1 орех.
Теперь выясним, сколько орехов она съест за 9 минут. Для этого нам нужно полторы минуты умножить на 6, а значит и количество съеденного тоже нужно умножить на 6:
1 белка за (1,5 * 6) минут съест (1 * 6) орехов
↓
1 белка за 9 минут съест 6 орехов.
Осталось запустить 9 белок одновременно и посчитать, сколько орехов они осилят за те же 9 минут:
(1 * 9) белок за 9 минут съедят (6 * 9) орехов
↓
9 белок за 9 минут съедят 54 ореха!
Почему? Потому что математика!
Рекрутер и бесконечный офис
В одной крупной компании появился безумный рекрутер, который нанимал на работу только джуниоров. У него был хитрый план — заполнить ими весь офис и получить за это премию от начальства. Чтобы это сделать, он каждый день нанимал столько же людей, сколько уже работает в офисе. Грубо говоря, удваивал число джуниоров.
Когда он только начинал, в старом офисе работал только один джуниор, но 30 дней спустя все рабочие места в офисе были полностью заняты напуганными, ничего не понимающими джуниорами.
В новом, точно таком же по размеру офисе с первого дня работает в 2 раза больше людей, чем на старте в старом — целых 2 джуниора вместо одного. Сколько времени уйдёт у безумного рекрутера на то, чтобы заполнить новый офис и получить свою квартальную премию?
Казалось бы, что если на старте в 2 раза больше людей, то и новый офис заполнится быстрее в 2 раза — за 15 дней вместо 30, но это не так.
Смысл в том, что, по условию задачи, рекрутер удваивает число людей каждый день. Это значит, что в новом офисе это удвоение произошло фактически на день раньше, чем в старом, а значит, и джуниоры его полностью займут только на день раньше — за 29 дней вместо 30.
Если вы любите точные математические решения вместо рассуждений — вот решение. Сначала посчитаем, сколько людей всего вмещает каждый офис. Для этого запишем каждые удвоения начиная с одного джуниора:
день 1: 1 джуниор
день 2: 2 джуниора
день 3: 4 джуниора
день 4: 8 джуниоров . . .
Если вывести общую формулу, получим:
день 1: 2 в нулевой степени джуниоров
день 2: 2¹ джуниоров
день 3: 2² джуниоров
день 4: 2³ джуниоров
. . .
день 30: 2 в 29-й степени джуниоров
Получается, что наш офис вмещает 2 в 29-й степени джуниоров. Если удвоение происходит каждый день и на старте у нас 2 джуниора, то для нового офиса получим такое уравнение, где х — количество дней:
2 в 29-й степени = 2 в степени х
Очевидно, что х = 29, а, значит, на заполнение всего нового офиса понадобится 29 дней, как мы и говорили в начале.
Задача про бармена и гурмана
У бармена эксклюзивного лофт-хипста-бара на улице Рубинштейна есть только два одинаковых стакана по 150 мл. Один стакан — полный, и в нём простая вода, а в другом 40-градусная водка, и он наполовину пуст. Утро-с.
В бар зашёл посетитель и попросил сделать ему 15-градусный раствор спирта. Находчивый бармен не растерялся и смог приготовить его, используя только эти два стакана. Как он это сделал и какой объём получился в итоге?
Вряд ли эта задача когда-нибудь попадётся на собеседовании в ИТ-компанию, но она может пригодиться в реальной жизни — например, завтра.
Это вариант классической задачи на переливания, только надо считать ещё крепость раствора и его объём.
Берём полупустой стакан с водкой и доливаем в него воды до полного. Получаем целый стакан 20-градусного спирта ((40 + 0) / 2 = 20). Во втором стакане осталась половина чистой воды, она нам сейчас пригодится.
В стакан с оставшейся водой наливаем наш раствор спирта — снова до краёв. В нём теперь 10 градусов ((20 + 0) / 2 = 10). В другом осталось полстакана 20-градусного спирта.
Финальным этапом бармен берёт и разбавляет эти полстакана 10-градусным раствором из полного стакана так, чтобы жидкость снова дошла до края. В итоге получается 15-градусный раствор ((20 + 10) / 2 = 15) объёмом в 150 мл!
Популярная школьная задача
Вот вам очень простой математический пример:
8 / 2(2 + 2)
Вы удивитесь, но большинство людей не смогут правильно это посчитать. Посчитайте сами и потом смотрите правильный ответ:
В интернете много споров про такие примеры, поэтому мы решили разобраться, какие ошибки совершают чаще всего и почему многие считают неправильно. Для решения нам понадобятся три математических правила:
- То, что в скобках, выполняется в первую очередь. Если скобок несколько, они выполняются слева направо.
- При отсутствии скобок математические действия выполняются слева направо, сначала умножение и деление, потом — сложение и вычитание.
- Между множителем и скобкой (или двумя скобками) может опускаться знак умножения.
Разберём подробнее, что это значит в нашем случае.
1. То, что в скобках, выполняется в первую очередь. То есть в нашем примере, вне зависимости от чего угодно, сначала схлопнутся скобки:
8 / 2(2 + 2) → 8 / 2(4)
2. Между числом и скобкой можно опустить знак умножения. У нас перед скобкой двойка, то есть можно сделать такую замену:
8 / 2(4) → 8 / 2 × 4
3. Математические действия при отсутствии скобок выполняются слева направо: как при чтении, сначала умножение и деление, потом — сложение и вычитание. Умножение и деление имеют одинаковый приоритет. Нет такого, что сначала всегда делается умножение, затем деление, или наоборот. Со сложением и вычитанием то же самое.
Некоторые считают, что раз множители были написаны близко друг к другу (когда там стояли скобки), то оно выполняется в первую очередь, ссылаясь при этом на разные методические пособия. На самом деле это не так, и нет такого скрытого умножения, которое имеет приоритет над другим умножением или делением. Это такое же умножение, как и остальные, и оно делается в общем порядке — как и принято во всём математическом мире.
Получается, что нам сначала надо сложить 2 + 2 в скобках, потом 8 разделить на 2, и полученный результат умножить на то, что в скобках:
8 / 2 × (2 + 2) = 8 / 2 × 4 = 4 × 4 = 16
Кстати, если на айфоне записать это выражение точно так же, как в условии, телефон тоже даст правильный ответ.
А инженерный калькулятор на Windows 10 так записывать не умеет и пропускает первую двойку-множитель. Попробуйте сами :)
Тут в тред врываются математики и с воплями «Шустеф!» поясняют криком:
«В АЛГЕБРЕ ТОТ ЖЕ ПОРЯДОК ДЕЙСТВИЙ, ЧТО И В АРИФМЕТИКЕ, но есть исключение: в алгебре знак умножения связывает компоненты действия сильнее, чем знак деления, поэтому знак умножения опускается. Например, a:b·c= a: (b·c)».
Этот текст из «Методики преподавания алгебры», курс лекций, Шустеф М. Ф., 1967 год. (стр. 43)
Раз в спорном примере знак умножения опущен, то спорный пример алгебраический, а значит, сначала умножаем 2 на 4, а потом 8 делим на 8!
А вот как на это отвечают те, кто действительно в теме и не ленится полностью посмотреть первоисточник:
«Для устранения недоразумений В. Л. Гончаров указывает, что предпочтительнее пользоваться в качестве знака деления чертой и ставить скобки [87]. П. С. Александров и А. Н. Колмогоров [59] предложили изменить порядок действий в арифметике и решать, например, так: 80:20×2=80:40=2 вместо обычного: 80:20×2=4×2=8. Однако это предложение не нашло поддержки».
Если апеллировать к Фриде Максовне Шустеф, то выходит, что:
- В. Л. Гончаров говорит так: «Ребята, используйте черту и ставьте скобки, чтобы ни у кого не было вопросов про приоритет».
- Если у нас всё же битва арифметики и алгебры, то, по П. С. Александрову и А. Н. Колмогорову, пример нужно решать слева направо, как обычно. Они, конечно, предложили решать такое по-другому, но научное сообщество их не поддержало.
Самое интересное, что дальше в примерах Фрида Максовна пользуется как раз правильным порядком действий, объясняя решение. Даже там, где есть умножение на скобку с опущенным знаком, она выполняет действия слева направо.
Что не так с отчётом?
Один требовательный HR-директор дал задание менеджеру: провести опрос среди веб-программистов и выяснить, на каком языке они пишут чаще всего — на JavaScript или на PHP. Через неделю менеджер принёс такой отчёт:
- количество опрошенных — 300;
- умеет писать на JavaScript — 234;
- умеет писать на PHP — 213;
- умеют писать на обоих языках — 144;
- вообще не пишут код — 0.
HR-директор посмотрел на отчёт и сказал менеджеру «У тебя ошибка в отчёте. Данные фальсифицированы. Ты уволен в связи с утратой доверия». За какую ошибку уволили менеджера?
Чтобы найти ошибку, давайте проверим цифры из отчёта и сравним их с исходными. Для начала выясним, кто умеет писать ТОЛЬКО на JavaScript. Чтобы это сделать, возьмём тех, кто умеет на нём писать, и вычтем оттуда тех, кто пишет на обоих языках:
234 − 144 = 90 (чистых JavaScript-программистов)
Точно так же посчитаем тех, кто пишет ТОЛЬКО на PHP: возьмём общее количество PHP-программистов и вычтем из них тех, кто умеет писать на обоих языках.
213 − 144 = 69 (чистых PHP-программистов)
А теперь сложим три группы: тех, кто пишет только на JavaScript (90 человек), кто пишет только на PHP (69 человек) и тех, кто пишет на двух языках сразу (144 человека).
90 + 69 + 144 = 303
Получилось 303 человека, а в опросе заявлено 300.
Понятно, что расхождение в 3 человека не влияет на общую статистику, но для требовательного HR-директора этого было достаточно.
Программисты и часы
— Доброе утро. Который сейчас час?
— Сложи 1/4 времени, прошедшего с полуночи до сейчас, с 1/2 от сейчас до полуночи.
— Спасибо, я понял.
— Не сомневался.
Вопрос: который час?
На самом деле это очень простая задача, если помнить, что в сутках 24 часа.
Пусть от полуночи до сейчас прошло Х времени. Тогда от сейчас до полуночи осталось 24 – Х времени.
С другой стороны, если мы сложим четверть времени от полуночи до сейчас и половину времени от сейчас до полуночи, то как раз получим Х — время, которое сейчас:
(¼ × Х) + (½ × (24 − Х)) = Х
Раскрываем скобки:
Х/4 + 12 − Х/2 = Х
Перенесём все Х в одну сторону, а 12 — в другую:
Х − Х/4 + Х/2 = 12
Х + Х/4 = 12
5Х/4 = 12
5Х = 48
Х = 9,6
Получается, что с полуночи прошло 9,6 часа, или 9 часов 36 минут.
Ответ: на часах 9:36.
Необычный автосалон
Один автосалон купил подержанную машину за 450 тысяч и через неделю продал её за 525 тысяч. Директор салона решил, что такая модель пользуется спросом, так что он дал менеджерам задание — найти ещё одну подобную машину. Они нашли такую же за 550 тысяч, купили её, но директор повёл себя странно. Он снова поставил на неё ценник в 525 тысяч, и машина ушла за два дня. Помогите бухгалтерии понять, заработал в итоге салон или потерял часть денег?
У этой задачи три решения: интуитивное, пошаговое и бухгалтерское. Сравните подходы.
Многие решают эту задачу так:
- Было 450 тысяч.
- Купили машину и продали за 525 тысяч.
- После продажи заработали 75.
- Взяли в долг 25.
- Купили вторую машину и продали снова за 525.
- Изначально было 450, стало 525, значит, прибыль снова составила 75 тысяч, а общая — 150 тысяч.
- Отдаём 25 долга, получаем прибыль 125 тысяч.
Но это неправильно. Правильно — ниже.
Давайте разберём эту сделку по шагам, чтобы понять, сколько денег было у салона на каждом этапе.
В самом начале у них было 450 тысяч — запомним это. Эти деньги пошли на покупку первой машины, поэтому на втором шаге у салона стало 0 рублей, но появился автомобиль.
На третьем шаге его продали за 525 тысяч, которые и ушли в кассу. Пока прибыль салона равна: 525 − 450 = 75 тысяч.
Вторая машина стоила на 25 тысяч дороже, чем у них было — 550, поэтому салон взял в долг 25 тысяч и купил её (шаг номер четыре). Здесь прибыль салона исчезла и появился убыток в 25 тысяч.
Пятым шагом они продали вторую машину за 525 тысяч, положили деньги в кассу и стали разбираться с долгами. После того как они вернули сумму, которую были должны, у салона осталось 500 тысяч, а начинали они с суммы в 450 тысяч. Получается, что они заработали 500 − 450 = 50 тысяч.
Бухгалтеры работают так: считают все доходы и расходы, а потом находят сальдо — разницу между ними. Сделаем то же самое.
Доходы: 525 с первой продажи и столько же со второй. Получается 525 + 525 = 1050 тысяч.
Расходы: 450 за первую машину и 550 за вторую. Получается 450 + 550 = 1000 тысяч.
Сальдо: доходы минус расходы. Это 1050 − 1000 = 50 тысяч.
