Сборник простых задач по математике, которые кажутся сложными

В этой задаче решение простое, но в нём всё равно можно запутаться. Следите за мыслью.

Если в изюме всего 6% воды, то в 100 килограммах изюма воды будет 6 килограмм (100 × 0,06 = 6), а сухого вещества — 94 килограмма (100 − 6 = 94).

Так как в винограде воды 92%, то сухого вещества в нём будет всего 8%, потому что в сумме должно получиться 100% (это виноград и с водой, и с мякотью).

Раз в винограде сухого вещества 8%, а бабушке нужно получить изюм с массой сухого вещества 94 килограмма, то и в винограде сухого вещества должно быть столько же. Это значит, что 8% составляют 94 килограмма, а 100% будет считаться так:

(94 / 8) × 100 = 11,75 × 100 = 1175 килограмм

Получается, что бабушке нужно будет вырастить и собрать больше тонны винограда, чтобы получить 100 кило изюма. Зная современных бабушек, мы ничего не исключаем.

Допустим, поезд отходит каждые две минуты с каждой платформы без перерывов — для чистоты эксперимента допустим также, что у нас круглосуточное метро. А дальше всё дело в интервалах между отправлениями с разных платформ.

Первый поезд на север у нас будет отходить в начале каждого целого двухминутного отрезка: в 0 минут, 2 минуты, 4 минуты и так далее. Запишем время отправления в минутах и секундах:

0:00

2:00

4:00…

А вот поезд на юг пусть отходит со смещением в 30 секунд относительно северного:

0:30

2:30

4:30…

И там и там интервал между поездами в одном направлении одинаковый — 2 минуты. Но получается, что после того, как ушёл поезд на север, у девушки есть всего 30 секунд, чтобы дождаться поезда на юг, если она не успела на первый. А вот потом у неё будет целых полторы минуты после отправления южного, чтобы уехать на север!

Это значит, что если девушка каждый раз случайно приходит на станцию, то она должна попасть в 30-секундный интервал, чтобы уехать на юг, или попасть в 90-секундный интервал, чтобы уехать на север. А раз второй интервал в 3 раза больше первого, то и попадать в него и уезжать на север девушка будет в 3 раза чаще.

Иногда судьба — это простая математика. И математике плевать, с каким гендером ты себя идентифицируешь сегодня.

Чтобы узнать, успеют они или нет, нужно посчитать время, которое им понадобится, чтобы закончить работу.

На эту задачу у девопса уходит 8 часов, значит, за один час он делает 1/8 часть задачи. Получается, что первый девопс за 2 часа, пока работал один, успел выполнить 2 × 1/8 = 2/8 = 1/4 задачи. Запомним это.

Когда к нему присоединился коллега-девопс, то в час каждый из них выполнял по ⅛ задачи, а вместе они выполняли в час 2 × 1/8 = 2/8 = 1/4 задачи.

Обозначим за X то время, когда оба девопса работали над задачей одновременно. Получается, за X часов они выполнили (X × 1/4 ) часть задачи.

Получается:

первый девопс за 2 часа сделал 1/4 задачи;

потом вместе со вторым они доделали (X × 1/4 ) частей задачи за X часов.

Так как все части задачи вместе дадут единицу — полностью выполненную задачу, — то получаем такое уравнение:

¼ + X × ¼ = 1

Умножаем обе части на 4 и решаем уравнение до конца:

1 + X = 4 → X = 3

Это значит, что, чтобы справиться с работой вдвоем, им потребуется 3 часа. Сейчас 11:00. Значит, они управятся к 14:00 и к 13:00 не успеют. 

Но с другой стороны — что им мешает сделать перерыв в 12:30, спокойно сходить на обед, вернуться и доделать?

Есть два стандартных подхода к решению этого уравнения: алгебраическое и через сравнения соотношений. Оба требуют обстоятельных разъяснений каждого действия.

Но есть и третье решение, которое намного проще — нужно лишь внимательно посмотреть на формулу и подключить здравый смысл. Так и сделаем.

Если мы разделим 19 просто на 5, то получим 3,8 — это самое большое, что может быть во вторых скобках, потому что чем больше значение в первых скобках, то тем меньше значение во вторых.

Самое большое значение, которое может быть в первых скобках — 8, когда m = 1. Это значит, что самое маленькое значение во вторых скобках — 19 / 8 = 2,375.

🤔 Получается, что значение вторых скобок лежит в диапазоне от 2,375 до 3,8.

Так как в скобках прибавляется 1/2, то отнимем её и от вторых скобок, и от диапазона. Получается так:

1,875 > n > 3,3

Единственные два целых числа, которые сюда подходят — это 2 и 3. Проверим их по очереди, подставив в исходное уравнение.

Если n = 2, то вторые скобки равны 2,5, и получается, что:

(5 + 3/m) × 2,5 = 19

5 + 3/m = 7,6

3/m = 2,6 → m = 1,15. Но так быть не может — по условию числа должны быть целыми.

Значит, остаётся только n = 3. Давайте проверим:

(5 + 3/m) × (3 + ½) = 19

(5 + 3/m) × 3,5 = 19, но 3,5 — это 7/2, поэтому (5 + 3/m) × (7/2) = 19

5 × 3/m = 19 / (7/2) = (19 × 2) / 7 = 38/7

3/m = 38/7 − 5 = 38/7 - 35/5 (потому что 5 = 35/7)

3/m = 3/7 → m = 7

Вот мы и нашли ответ без второго уравнения: m = 7, n = 3.

Короче: секрет был в том, чтобы обратить внимание на число 5 и условия задачи.

Обозначим за X количество миллионов, которые нужно вкладывать в первый и второй год, а за Y — сколько миллионов нужно вкладывать в третий и четвёртый год.

Так как каждый год бизнес даёт прибыль 15%, то к началу второго года в нём будет 1,15 × 10 = 11,5 миллиона. Сразу после этого мы вкидываем в него X миллионов и получаем 11,5 + X.

Тогда к началу второго года мы получим снова 15% от денег в бизнесе:

1,15 × (11,5 + X) — и вкладываем сверху ещё X миллионов:

1,15 × (11,5 + X) + X — получается в бизнесе к началу третьего года

Но нам нужно, чтобы за первые два года бизнес удвоился, то есть к началу третьего года в нём было не 10 миллионов, а 20. Получаем такое неравенство:

1,15 × (11,5 + X) + X ⩾ 20

13,225 + 1,15X + X ⩾ 20

13,225 + 2,15X ⩾ 20 → 2,15X ⩾ 20 − 13,225 → 2,15X ⩾ 6,775

X ⩾ 3,15 — но так как у нас X должно быть целым, то ближайшее целое для этого неравенства X = 4.

Зная X, найдём сумму денег в бизнесе к началу третьего года:

13,225 + 8,6 = 21,825 миллиона

Сделаем то же самое для Y. К началу четвёртого года в бизнесе будет 1,15 × 21,825 + Y, а в самом конце четвёртого года мы снова получаем 15% прибыли:

1,15 × (1,15 × 21,825 + Y) + Y

1,3225 × 21,825 + 1,15Y + Y

28,8635625 + 2,15Y — будет в проекте через 4 года.

Но за 4 года первоначальные вложения должны утроиться, поэтому

28,8635625 + 2,15Y ⩾ 30

2,15Y ⩾ 1,1364375

Y ⩾ 0,52857 — но так как Y тоже должно быть целым, то ближайшее целое для этого неравенства будет Y = 1

Получается, что первые два года в бизнес нужно будет вкладывать по 4 миллиона, а вторые два — по одному.

Находим, у кого больше денег

Это звучит удивительно, но для решения нам не нужно считать точное количество монет обоих видов у каждого (хотя никто не мешает вам попробовать это сделать). Вместо этого мы применим хитрость и смекалку.

Нам неважно, сколько у кого монет, главное, что их одинаковое количество и у Елены, и у Ивана, а вот количество рублёвых монет разное. Зная это, достаточно нарисовать простую картинку, по которой легко найти ответ на этот вопрос:

Глядя на неё, понимаем, что общую часть из 64 рублёвых монет можно выкинуть у обоих, потому что и там и там одинаковая сумма. А то, что осталось, и даст нужную разницу.

👉 Так как количество монет у каждого одинаковое, то у Ивана вместо 40 пятирублёвок лежит 40 рублёвых монет, а остальные пятирублёвки снова у обоих в одинаковом количестве, и их тоже можно отбросить. Получается, разница в деньгах такая:

Значит, у Елены на 200 − 40 = 160 ₽ больше.

Находим вес монет Ивана

На этом этапе спотыкается большинство решающих, потому что они пытаются найти точное количество монет Ивана. Но мы-то с вами уже знаем, что это необязательно — достаточно найти разницу в весе и по ней посчитать вес монет.

Используем тот же рисунок, но уже в разрезе веса монет:

Получается, что разница в весе зависит от тех же монет, что мы считали в первой части. 

Так как одна рублёвая монета легче одной пятирублёвой на 2,7 грамма, то у 40 монет разница в весе будет 40 × 2,7 = 108 грамм. А раз у Ивана пятирублёвок меньше, чем у Елены, то и монеты будут весить как раз на эти 108 грамм легче: 1,134 − 0,108 = 1,026 килограмма.

Мы не знаем, как отвечал джуниор, поэтому обозначим всё так:

x — количество правильных ответов;

y — количество неправильных ответов;

z — сколько вопросов осталось без ответа.

При этом мы помним, что джуниор точно ошибся как минимум в одном вопросе, поэтому игрек у нас будет больше либо равен единице.

Зная, что всего вопросов было 50, можем составить уравнение: x + y + z = 50.

Так как за каждый правильный ответ джуниор получал 9 баллов, а за неправильный снималось 17, составим второе уравнение: 9x − 17y + 0z = 153.

Получаем систему из двух уравнений:

Второе уравнение выглядит проще, поэтому займёмся им. 

9x − 17y = 153

9x − 153 = 17y ← вынесем здесь 9 за скобки, как множитель в левой стороне

9(x − 17) = 17y

В последнем уравнении видно, что левая часть делится на 9 без остатка (потому что там есть множитель 9). Это значит, что 17y тоже должно делиться на 9 без остатка, а раз 17 на 9 не делится, то делится игрек. Получается, что он может быть равен 9, 18, 27, 36 или 45 (больше быть не может, потому что общее число вопросов у нас 50).

Проверим все эти числа по очереди.

✅ Если y = 9, то (x − 17) = 17 (мы используем последний вид второго уравнения), а значит, x = 34. Если x = 34, то z = 50 − 34 − 9 = 7. Вроде сходится, но надо проверить остальное.

❌ Если y = 18 = 9 × 2, то (x − 17) = 17 × 2, а значит, x = 51. Но число вопросов у нас 50, поэтому y = 18 не подходит.

❌ Если y = 27 = 9 × 3, то (x − 17) = 17 × 3, а значит, x = 68. Но число вопросов у нас 50, поэтому y = 27 не подходит.

❌ Видно, что с ростом игрека у нас начинает сильно расти x, который давно выбился за допустимые 50 вопросов, поэтому остальные варианты (36 и 45) тоже не подходят. 

А раз так, то остаётся только один, самый первый вариант, где x = 34. Этого достаточно, чтобы джуниора взяли на работу.

Нарисуем схематично наше соединение с двумя шлюзами, красным и синим. Условно будем считать, что длина каждого отрезка соответствует скорости обработки сигнала:

Теперь обозначим за x, y и z три отрезка сигнала, которые нам неизвестны, и подпишем разницу в пинге — это то, что мы знаем:

По рисунку можно составить два уравнения:

x + y − z = 25 ← когда пингуем красный шлюз

y + z − x = 35 ← когда пингуем синий шлюз

Сложим эти уравнения друг с другом:

x + y − z + y + z − x = 25 + 35

Сгруппируем неизвестные друг с другом:

(x − x) + (y + y) + (z − z) = 60

2y = 60 → y = 30

Получается, пинг между шлюзами, которое мы обозначили за y, равен 30 миллисекунд.

Мы не знаем, сколько часов в день работает первый тестировщик, поэтому обозначим это время за X. Тогда второй тестировщик, который уходит на 2 часа позже, работает X+2 часов в день.

Получается, что первый делает 80 / X тестов в час, а второй — 90 / (X + 2) тестов в час. 

Мы знаем, что если он будет делать на 1 тест в час больше, то сравняется по скорости с первым тестировщиком. Запишем это в виде равенства:

80 / X = (90 / (X + 2)) + 1

В правой части у нас есть дробь с делителем (X + 2). Чтобы прибавить единицу к этой дроби, применим математический трюк — сделаем её тоже в виде дроби с таким же знаменателем:

1 = (X + 2) / (X + 2)

Возникает вопрос, насколько правомерна эта замена — например, есть ли условия, при которых в знаменателе будет ноль? Смотрим: у нас рабочие часы всегда будут положительным числом. Чтобы в знаменателе был ноль, X должен быть равен минус двум, а такого рабочего времени быть не может. Значит, мы ничего не ломаем, такая подстановка возможна:

80 / X = (90 / (X + 2)) + 1

↓

80 / X = (90 / (X + 2)) + (X + 2) / (X + 2)

Для наглядности нарисуем это в более традиционном формульном виде:

Складываем дроби справа:

Чтобы избавиться от дроби, нам нужно перемножить левую и правую часть на произведение делителей, то есть на X × (X + 2): 

80 × (X + 2) = (92 + X) × X

Ну а дальше изи:

80X + 160 = 92X + X²

Переносим всё в правую часть и получаем квадратное уравнение:

X² +92X – 80X – 160 = 0

X² + 12X – 160 = 0

Решаем его через любой онлайн-калькулятор квадратных уравнений и получаем два ответа: X = 8 и X = –20. Так как у нас количество рабочих часов не может быть отрицательным, то остаётся только один ответ — 8 часов работает первый тестировщик и делает 80 / 8 = 10 тестов в час.

Получается, что второму тестировщику тоже нужно делать 10 тестов в час.

Несмотря на мнимую сложность и степени, эта задача решается за минуту. Всё, что нам понадобится, — это известное ещё со школы свойство перемножения степеней, которое работает так:

Теперь используем это, чтобы сравнять основание и степень в левой части:

Дальше так же выносим двойку из каждой степени и возводим в неё основание, пока числа не станут равны:

Это одна из тех задач, где в итоге всё получается просто и красиво. Сейчас убедимся в этом.

Сначала поработаем с левой частью: в ней есть √6. Чтобы его получить, нужно √2 умножить на √3.

Но 2√6 — это удвоенное произведение, которое встречается в формуле квадрата суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b².

Попробуем подставить сюда вместо a — √3 и вместо b — √2, чтобы получить удвоенное произведение, и посмотрим, что получится:

(√3 + √2)² = (√3)² + 2√2√3 + (√2)² = 3 + 2√6 + 2 = 5 + 2√6

Мы только что выяснили, что (√3 + √2)² = 5 + 2√6 — запомним это на будущее. А теперь посмотрим на левую часть под корнем ещё раз: в ней есть не 5 + 2√6, а 6 + √6, то есть на единицу больше:

И там же есть удвоенные числа √2 и √3 — это значит, что мы можем проверить снова, вдруг из этого тоже можно сделать квадрат суммы. 

Теперь самая сложная часть решения: раз 6 − 5 = 1, то пусть первым слагаемым будет единица, а вторым — (√3 + √2), чтобы мы получили 5 + 2√6 после возведения второго в квадрат. Проверим эту теорию:

(1 + (√3 + √2))² = 1² + 2(√3 + √2) + (√3 + √2)² = 1 + 2√3 + 2√2 + (√3 + √2)²

Но мы помним, что (√3 + √2)² = 5 + 2√6, поэтому вот что у нас получается:

1 + 2√3 + 2√2 + 5 + 2√6 = 6 + 2√3 + 2√2 + 2√6

Это именно то, что стоит у нас под корнем, значит, в левой части мы извлекаем корень из квадрата — а это будет равно как раз тому, что стоит в скобках:

√(1 + (√3 + √2))² = 1 + √3 + √2

Мы расправились с левой частью, теперь перейдём к правой:

Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим обе части на одно и то же число — √(5 + 2√6). Благодаря этому мы сможем возвести в квадрат оба слагаемых, потому что есть такое правило: (a + b) × (a − b) = a² − b².

Посчитаем знаменатель:

Выходит, что вся наша дробь равна √(5 + 2√6). Но мы помним из первой части, что:

√(5 + 2√6) = (√3 + √2)²

Подставим это под знак корня:

Значит, наша правая часть равна √3 + √2. Теперь отнимем это от левой части:

1 + √3 + √2 − (√3 + √2) = 1 + √3 − √3 + √2 − √2 = 1

Получилась единица — простая и красивая, как мы и ожидали.

Очевидно, что можно посчитать значение каждого квадрата, а потом вычитать и складывать все значения по очереди. Но это долго и так собеседование мы точно не пройдём. 

Используем математическую хитрость и посмотрим на пример с точки зрения разности квадратов. Для начала расставим скобки:

(1² − 2²) + (3³ − 4²) + (5² − 6²) + … + (99² − 100²)

Мы никак не изменили значение выражения, но у нас появилась сгруппированная разность квадратов. Вспомним формулу разности квадратов:

x² − y² = (x − y)(x + y)

Применим её к каждому выражению в скобках:

(1 − 2)(1 + 2) + (3 − 4)(3 + 4) + … + (99 − 100)(99 + 100)

В каждой скобке, где есть минус, значение разности равно −1, потому что числа идут по порядку и в каждой паре второе число больше первого на единицу. Получается, что первая скобка в каждом произведении равна −1:

−1(1 + 2) +(−1)(3 + 4) + … + (−1)(99 + 100)

Вынесем общий минус за скобки:

−1 (1 + 2 + 3 + 4 + … + 99 + 100)

Получается, нам нужно найти сумму от 1 до 100 и умножить её на −1. Для этого вспомним такую формулу: 

сумма чисел от 1 до N равна произведению N на N+1, поделённого пополам.

В нашем случае сумма от 1 до 100 считается так:

(100 × 101) / 2 = 10100 / 2 = 5050

Умножаем это значение на −1 и получаем общий ответ: −5050

Хитрые программисты могут потратить эту пару минут не на математику, а на организацию простого цикла:

// тут будет результат
var res = 0;
// с помощью этой переменной мы будем чередовать плюс и минус в выражении
var index = 1;
// перебираем числа от 1 до 100 включительно
for (let i = 1; i <= 100; i++) {
    // возводим число в квадрат, ставим нужный знак из индекса и добавляем всё к результату
    res = res + index * i * i;
    // меняем знак для следующего действия
    // если индекс был положительный, то после умножения он становится отрицательный — так мы меняем плюс на минус и наоборот
    index = index * (-1);
}
// выводим результат
console.log(res)

Запустите код в консоли браузера, чтобы посмотреть результат. А если вы успели напечатать это за 2 минуты и понять, что означает каждая строчка, — приходите в Практикум прокачивать свои знания и получать новую профессию.