Сложная задача про маршрутку

Один парень живёт на окра­ине горо­да. В цен­тре горо­да есть вок­зал, куда сего­дня долж­ны при­е­хать роди­те­ли буду­щей неве­сты. Их нуж­но встре­тить. Парень вышел из дома, дошёл до оста­нов­ки марш­рут­ки и ждёт. 

Марш­рут­ка до вок­за­ла ходит раз в пол­ча­са. Так как води­тель при выез­де может задер­жать­ся на пере­кур, веро­ят­ность того, что марш­рут­ка появит­ся за бли­жай­шие 30 минут, сни­жа­ет­ся с еди­ни­цы до 0,95.

Что­бы успеть на вок­зал, парень дол­жен сесть в марш­рут­ку за бли­жай­шие 10 минут. Если не успе­ет, отно­ше­ния с буду­щи­ми род­ствен­ни­ка­ми будут испорчены. 

Так­же моло­дой чело­век может поехать не на марш­рут­ке, а на трам­вае. Он рас­счи­тал в уме, что если сей­час пой­ти пеш­ком до трам­вай­ной оста­нов­ки, есть шанс 60%, что он успе­ет при­е­хать на вокзал. 

Пар­ню нуж­но при­нять решение:

  1. либо пой­ти на трам­вай и успеть с веро­ят­но­стью 60%,
  2. либо подо­ждать маршрутку.

В каком вари­ан­те у пар­ня боль­ше шан­сов успеть к буду­щим родственникам?

Решение

Если мы про­сто раз­де­лим 0,95 на 3, что­бы полу­чить нуж­ную веро­ят­ность, то полу­чим непра­виль­ный ответ. Дело в том, что веро­ят­ность опре­де­лён­но­го собы­тия за опре­де­лён­ное вре­мя — вели­чи­на неде­ли­мая. Нужен дру­гой подход.

Взгля­нем на зада­чу с дру­гой сто­ро­ны: если веро­ят­ность того, что за бли­жай­шие 30 минут про­едет марш­рут­ка, рав­на 0,95, то веро­ят­ность того, что она не появит­ся за эти же пол­ча­са равна 

1 − 0,95 = 0,05

Марш­рут­ка не появит­ся за бли­жай­шие пол­ча­са, если выпол­нят­ся одно­вре­мен­но три условия:

  1. Марш­рут­ка не про­едет за пер­вые 10 минут.
  2. Марш­рут­ка не про­едет за сле­ду­ю­щие 10 минут.
  3. И марш­рут­ка не про­едет за остав­ши­е­ся 10 минут.

Допу­стим, веро­ят­ность того, что марш­рут­ка про­едет за 10 минут, рав­на X, тогда веро­ят­ность того, что она не про­едет, рав­на (1 − X). При­ме­ним это зна­ние к нашим трём пунктам:

  1. Марш­рут­ка не про­едет за пер­вые 10 минут с веро­ят­но­стью (1 − X).
  2. Марш­рут­ка не про­едет за сле­ду­ю­щие 10 минут с веро­ят­но­стью (1 − X).
  3. И марш­рут­ка не про­едет за остав­ши­е­ся 10 минут с веро­ят­но­стью (1 − X).

Так как эти усло­вия долж­ны выпол­нить­ся одно­вре­мен­но, а вме­сте они дают веро­ят­ность 0,05, то полу­чим уравнение:

(1 − X) × (1 − X) × (1 − X) = 0,05

(1 − X)³ = 0,05

Извле­ка­ем из обе­их частей куби­че­ский корень:

(1 − X) = 0,37

X = 1 − 0,37

X = 0,63 — с такой веро­ят­но­стью про­едет марш­рут­ка за 10 минут.

Полу­ча­ет­ся, что с веро­ят­но­стью 63% наш парень успе­ет на вок­зал, всех встре­тит и сохра­нит хоро­шие отно­ше­ния с буду­щи­ми род­ствен­ни­ка­ми. Эта веро­ят­ность на 3% выше, чем если он поедет на трамвае.

С точ­ки зре­ния веро­ят­но­стей нуж­но ждать марш­рут­ку. А с точ­ки зре­ния здра­во­го смыс­ла луч­ше бы ему не жениться.