Лучшие задачи на вероятности и случайности

Исполь­зуй­те этот набор задач на веро­ят­но­сти, что­бы про­ве­рить себя и дру­зей. Есть веро­ят­ность, что после это­го они пере­ста­нут быть ваши­ми дру­зья­ми.

Футболист против законов математики

Пред­ставь­те, что вам пред­ло­жи­ли пари:

  1. Вы выби­ра­е­те один из двух вари­ан­тов игры с мячом.
  2. Фут­бо­лист игра­ет в пред­ло­жен­ную вами игру.
  3. Если фут­бо­лист выиг­ры­ва­ет, вы и фут­бо­лист полу­ча­е­те день­ги. Если нет — никто ниче­го не полу­ча­ет.

Пер­вый вари­ант игры — уда­рить по мячу один раз. Если мяч попа­дёт в воро­та — вы выиг­ра­ли.

Вто­рой вари­ант игры — уда­рить по мячу три раза. Если хотя бы два раза из трёх мяч попал в воро­та — вы выиг­ра­ли.

За выиг­рыш в любом вари­ан­те вам запла­тят 50 000 руб­лей. Какой вари­ант игры луч­ше выбрать и поче­му? Вы зна­е­те, что в сред­нем фут­бо­лист заби­ва­ет три мяча из пяти, но в исто­рии игро­ка быва­ло и мно­го непо­па­да­ний под­ряд.

Решение

Вероятность

В таких зада­чах всё зави­сит от веро­ят­но­стей — насколь­ко воз­мож­но, что это всё про­изой­дёт. Веро­ят­ность чаще все­го изме­ря­ет­ся в про­цен­тах: чем они выше, тем веро­ят­нее слу­чит­ся нуж­ное нам собы­тие. Напри­мер, когда мы под­ки­ды­ва­ем моне­ту, веро­ят­ность того, что выпа­дет орёл — 50%. Это зна­чит, что в поло­вине слу­ча­ев дей­стви­тель­но выпа­дет орёл. А веро­ят­ность бро­сить кубик и сра­зу полу­чить 6 очков — око­ло 17% или ⅙ , пото­му что у куби­ка 6 рав­но­цен­ных гра­ней.

Давай­те обо­зна­чим сим­во­лом р веро­ят­ность того, что фут­бо­лист при любом уда­ре заби­ва­ет гол в воро­та. Полу­ча­ет­ся, в пер­вом вари­ан­те наши шан­сы полу­чить день­ги тоже рав­ны р, пото­му что фут­бо­лист дол­жен забить с пер­во­го раза. Так как веро­ят­ность — это чис­ло от 0% до 100% (это то же самое, что от 0 до 1), мы име­ем два выра­же­ния:

р — веро­ят­ность, что фут­бо­лист попа­дёт в воро­та.

(1 — р) — веро­ят­ность, что фут­бо­лист про­мах­нёт­ся.

Если мы выбра­ли первую игру с одним уда­ром, веро­ят­ность выиг­ры­ша рав­на веро­ят­но­сти попа­да­ния в воро­та, то есть р. Зная, что фут­бо­лист попа­да­ет три раза из пяти, мы можем сме­ло ска­зать: веро­ят­ность выиг­ры­ша в пер­вой игре — 60%. Непло­хая веро­ят­ность и пока всё оче­вид­но.

А что со вто­рой игрой? Сто­ит ли про­бо­вать её, если мы зна­ем веро­ят­ность побе­ды в пер­вой? Давай­те хотя бы срав­ним.

Для вто­ро­го вари­ан­та игры есть восемь раз­ных путей раз­ви­тия собы­тий — ком­би­на­ций попа­да­ний и непо­па­да­ний в воро­та. Давай­те зане­сём их в таб­ли­цу, и если в какой-то попыт­ке мы попа­ли в воро­та — поста­вим на этом месте галоч­ку. Рядом запи­шем зна­че­ния веро­ят­но­стей этих собы­тий. Веро­ят­но­сти пере­мно­жа­ют­ся:

Пер­вый удар Вто­рой Тре­тий Веро­ят­ность Выиг­ра­ли?
(1 - p) × (1 - p) × (1 - p) Нет
(1 - p) × (1 - p) × р Нет
(1 - p) × p × (1 - p) Нет
(1 - p) × р × р Да
p × (1 - p) × (1 - p) Нет
p × (1 - p) × р Да
p × p × (1 - p) Да
p × p × p Да

В таб­ли­це при­ве­де­ны все вари­ан­ты раз­ви­тия собы­тий, ника­ких дру­гих быть не может. Судя по таб­ли­це, из вось­ми вари­ан­тов раз­ви­тия собы­тий мы выиг­ры­ва­ем в четы­рёх. Рас­смот­рим вари­ан­ты выиг­ры­ша.

В трёх выиг­рыш­ных слу­ча­ях фут­бо­лист про­ма­хи­ва­ет­ся один раз. Веро­ят­но­сти у этих трёх сце­на­ри­ев:

(1 — p) × р × р

p × (1 — p) × р

p × p × (1 — p)

Заме­ти­ли, что все эти фор­му­лы мож­но при­ве­сти к одно­му виду?

p × p × (1 — p)

А эта фор­му­ла, в свою оче­редь, при­во­дит­ся к тако­му виду:

p × p × (1 — p)

p² × (1 — p)

p² — p³

В чет­вёр­том при­зо­вом слу­чае вы забьё­те мяч три раза под­ряд, и веро­ят­ность это­го такая:

p × p × p = p³

Что­бы узнать общую веро­ят­ность выиг­ры­ша, нуж­но сло­жить пер­вые три и чет­вёр­тую. Для это­го доста­точ­но мате­ма­ти­ки седь­мо­го клас­са. Сде­ла­ем это поша­го­во:

(p² — p³) × 3 + p³

3p² — 3p³ + p³

3p² — 2p³ — это веро­ят­ность наше­го выиг­ры­ша во вто­рой игре.

Мы пом­ним, что веро­ят­ность выиг­ры­ша в пер­вой игре рав­на p. Оста­лось выяс­нить, что в нашем слу­чае боль­ше: р или 3р² — 2р³. Та игра, где веро­ят­ность выше, нам и нуж­на.

Математическое ожидание

Давай­те на секун­ду забу­дем, что мы зна­ем точ­ность наше­го фут­бо­ли­ста. Мы не в кур­се, что он заби­ва­ет 3 пеналь­ти из 5. Мы лишь зна­ем, что его веро­ят­ность попа­да­ния в воро­та рав­на р, при этом если p = 0, мы ниче­го не выиг­ра­ем, а если p = 100% (то есть 1), мы точ­но выиг­ра­ем 50 000 руб­лей. Оста­лось понять, како­ва веро­ят­ность выиг­ры­ша в про­ме­жу­точ­ных сце­на­ри­ях меж­ду 0% и 100%. Для это­го пона­до­бит­ся мате­ма­ти­че­ское ожи­да­ние.

Мате­ма­ти­че­ское ожи­да­ние — это про­из­ве­де­ние резуль­та­та на веро­ят­ность его полу­че­ния. В нашем слу­чае — про­из­ве­де­ние денеж­но­го при­за на веро­ят­ность его полу­че­ния. Это чис­ло не име­ет ника­ко­го отно­ше­ния к реаль­но­сти — по пра­ви­лам игры при точ­но­сти фут­бо­ли­ста 50% мы не полу­чим 25 000 руб­лей. Мы счи­та­ем мате­ма­ти­че­ское ожи­да­ние, толь­ко что­бы оце­нить свои шан­сы.

В пер­вом вари­ан­те игры наше мате­ма­ти­че­ское ожи­да­ние рав­но 50 000 × р, во вто­ром оно же рав­но 50 000 × (3р² — 2р³).

Что­бы понять, какое ожи­да­ние луч­ше, давай­те нари­су­ем два гра­фи­ка. Они пока­жут зави­си­мость резуль­та­та мате­ма­ти­че­ско­го ожи­да­ния каж­до­го слу­чая от веро­ят­но­сти того, что фут­бо­лист забьёт гол. Про­ще гово­ря, мы возь­мём веро­ят­ность гола в 1% и посмот­рим, чему будет рав­но мате­ма­ти­че­ское ожи­да­ние в обо­их слу­ча­ях. Потом возь­мём веро­ят­ность 2% и тоже посмот­рим на резуль­тат ожи­да­ния. Потом веро­ят­но­сти 3%, 4%, 5% и так далее. Когда дой­дём до 100%, кар­ти­на будет ясна:

Математическое ожидание от игр

Оран­же­вая линия пока­зы­ва­ет гра­фик мате­ма­ти­че­ско­го ожи­да­ния от пер­во­го вари­ан­та игры. Тут всё понят­но: чем точ­нее фут­бо­лист бьёт по воро­там, тем боль­ше веро­ят­ность, что мы выиг­ра­ем, связь линей­ная.

Серая линия пока­зы­ва­ет наши шан­сы в вари­ан­те игры с тре­мя уда­ра­ми. Тут начи­на­ет­ся самое инте­рес­ное:

Если точ­ность фут­бо­ли­ста мень­ше 50%, то наше мате­ма­ти­че­ское ожи­да­ние от вто­ро­го вари­ан­та игры ниже, чем от пер­во­го. То есть мази­ла ско­рее про­мах­нёт­ся, чем попа­дёт. И с точ­ки зре­ния тео­рии веро­ят­но­стей луч­ше бы он уда­рил один раз, чем три.

Если точ­ность фут­бо­ли­ста боль­ше 50%, то пер­вая игра даёт более низ­кое мате­ма­ти­че­ское ожи­да­ние, чем вто­рая.

Гра­фи­ки пере­се­ка­ют­ся ров­но посе­ре­дине, в веро­ят­но­сти 50%. Это зна­чит, что если бы у наше­го фут­бо­ли­ста все­гда было 5 попа­да­ний из деся­ти, то веро­ят­ность выиг­рать в любой из двух игр у нас оди­на­ко­вая.

Это мож­но объ­яс­нить ещё и так. Если фут­бо­лист заби­ва­ет пло­хо, то на побе­ду мож­но не рас­счи­ты­вать. Мак­си­мум, что слу­чит­ся — вам пове­зёт, и фут­бо­лист при уда­ре слу­чай­но забьёт гол. Так как такая уда­ча слу­чит­ся, ско­рее все­го, толь­ко один раз, то и выбрать в этом слу­чае нуж­но вари­ант с одним уда­ром. А если фут­бо­лист в целом неплох, то во вто­рой игре у него боль­ше шан­сов реа­би­ли­ти­ро­вать­ся и отыг­рать­ся, поэто­му нуж­но ста­вить на вто­рую игру.

И финаль­ный штрих: так как мы зна­ем, что p = 60%, нам очень лег­ко полу­чить мате­ма­ти­че­ские ожи­да­ния от двух игр, зная все веро­ят­но­сти:

Пер­вая игра. Матожидание = 50 000 × 0,6 = 30 000

Вто­рая игра. Матожидание = 50 000 × (3 × 0,62 — 2 × 0,63) = 32 400

Мато­жи­да­ние от вто­рой игры немно­го выше, чем от пер­вой. Мы, конеч­но, не полу­чим этих денег имен­но в таком виде. Но по это­му чис­лу мы видим, что вто­рая игра с точ­ки зре­ния веро­ят­но­стей нам выгод­нее.

Важное о вероятностях

Рас­счи­ты­вая веро­ят­но­сти, помни­те, что веро­ят­ность — это не гаран­тия. В момент игры может подуть силь­ный ветер, начать­ся дождь или фут­бо­лист может быть моти­ви­ро­ван спе­ци­аль­но мазать мимо ворот (такое сплошь и рядом в тео­рии игр). Веро­ят­но­сти рабо­та­ют толь­ко на боль­ших выбор­ках и в стро­го кон­тро­ли­ру­е­мых усло­ви­ях.

Напри­мер, нам могут пред­ло­жить сыг­рать 100 игр в оди­на­ко­вых усло­ви­ях, давая фут­бо­ли­сту воз­мож­ность доста­точ­но отды­хать после каж­дой игры. Тогда мате­ма­ти­че­ское ожи­да­ние будет иметь прак­ти­че­ский смысл.

Но если нам пред­ло­жат 100 игр под­ряд на откры­том воз­ду­хе, после каж­дой из кото­рых фут­бо­лист не будет отды­хать, то мы полу­чим как мини­мум два эффек­та:

  • фут­бо­лист будет уста­вать, его пока­за­тель точ­но­сти со вре­ме­нем сни­зит­ся;
  • за вре­мя ста игр может сме­нить­ся тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха и ветер, что повли­я­ет на точ­ность.

Поэто­му мате­ма­ти­че­ское ожи­да­ние не явля­ет­ся гаран­ти­ей выиг­ры­ша. Чем при­ме­нять мато­жи­да­ние в став­ках на спорт или в кази­но, луч­ше най­ти высо­ко­опла­чи­ва­е­мую рабо­ту про­грам­ми­стом.

Морфеус и математика против агентов Матрицы

Одна­жды аген­ты Мат­ри­цы пой­ма­ли Мор­фе­уса и дали ему выби­рать его же таб­лет­ки — крас­ные или синие. Крас­ная воз­вра­ща­ет Мор­фе­уса в реаль­ный мир, а синяя навсе­гда остав­ля­ет его внут­ри Мат­ри­цы и в руках аген­тов. Выбор про­ис­хо­дит так: Мор­фе­ус сам берёт 50 крас­ных и 50 синих таб­ле­ток, как угод­но рас­кла­ды­ва­ет их по двум оди­на­ко­вым короб­кам, а потом агент Мат­ри­цы сам выби­ра­ет любую короб­ку и не гля­дя доста­ёт отту­да слу­чай­ную таб­лет­ку.

Как Мор­фе­усу нуж­но раз­ло­жить все таб­лет­ки по короб­кам, что­бы мак­си­маль­но уве­ли­чить свои шан­сы на воз­вра­ще­ние в реаль­ность?

Решение

Если сло­жить все таб­лет­ки в одну короб­ку, то шанс вытя­нуть крас­ную будет 50/100 или 50%. Такая же веро­ят­ность будет, если раз­ло­жить синие и крас­ные таб­лет­ки по короб­кам мак­си­маль­но рав­но­мер­но: 25/50 в каж­дой короб­ке. Наша зада­ча — уве­ли­чить эту веро­ят­ность.

Что­бы это сде­лать, Мор­фе­ус дол­жен в одну короб­ку поло­жить толь­ко одну крас­ную таб­лет­ку, а в дру­гую короб­ку — все осталь­ные таб­лет­ки вме­сте. Теперь посчи­та­ем новые веро­ят­но­сти.

Шанс, что агент выбе­рет короб­ку, где лежит толь­ко одна таб­лет­ка, — 50%, пото­му что короб­ки оди­на­ко­вые. А шанс вытя­нуть крас­ную таб­лет­ку, когда в короб­ке и так толь­ко одна крас­ная, — 100%. Полу­ча­ем, что общая веро­ят­ность спа­се­ния Мор­фе­уса в этом слу­чае:

0,5 (веро­ят­ность выбо­ра короб­ки) × 1 (веро­ят­ность вытя­нуть крас­ную таб­лет­ку) = 0,5, или 50%.

Посчи­та­ем шан­сы для дру­го­го слу­чая. Вто­рую короб­ку тоже вытя­нут с веро­ят­но­стью 0,5, как и в пер­вом слу­чае. Но веро­ят­ность вытя­нуть одну крас­ную таб­лет­ку из 99, где 49 из них тоже крас­ные, рав­на 49/99 или ~0,495. Пере­мно­жа­ем, что­бы полу­чить общую веро­ят­ность спа­стись в этом слу­чае:

0,5 (веро­ят­ность выбо­ра короб­ки) × 0,495 (веро­ят­ность вытя­нуть крас­ную таб­лет­ку) = 0,2475, или 24,75%.

Что­бы узнать общую веро­ят­ность на спа­се­ние в обо­их слу­ча­ях, скла­ды­ва­ем веро­ят­но­сти в каж­дом слу­чае:

Общая веро­ят­ность = веро­ят­ность в пер­вом слу­чае + веро­ят­ность во вто­ром слу­чае.

Общая веро­ят­ность = 50% + 24,75% = 74,75%.

Полу­ча­ет­ся, что Мор­фе­усу уда­лось повы­сить свои шан­сы на спа­се­ние почти в пол­то­ра раза!

Задача про секс и математику

У одно­го моло­до­го чело­ве­ка было две подру­ги, они жили в про­ти­во­по­лож­ных кон­цах горо­да — на восто­ке и запа­де. Парень рабо­тал в цен­тре. Каж­дый день после рабо­ты он спус­кал­ся в мет­ро и садил­ся на пер­вый при­хо­дя­щий поезд. В какую сто­ро­ну поедет поезд — к той девуш­ке он и отправ­лял­ся.

Коли­че­ство поез­дов в каж­дую сто­ро­ну оди­на­ко­вое, но парень стал заме­чать, что в какое бы вре­мя он ни выхо­дил с рабо­ты, к запад­ной девуш­ке он при­ез­жал в три раза чаще, чем к той, что жила на восто­ке. Он поду­мал, что это судь­ба, и женил­ся на ней.

А дей­стви­тель­но ли это судь­ба или она тут ни при чём? Поче­му так про­изо­шло?

Решение

Допу­стим, у нас поезд отхо­дит каж­дые две мину­ты с каж­дой плат­фор­мы без пере­ры­вов — для чисто­ты экс­пе­ри­мен­та допу­стим так­же, что у нас круг­ло­су­точ­ное мет­ро. А даль­ше всё дело в интер­ва­лах меж­ду отправ­ле­ни­я­ми с раз­ных плат­форм.

Пер­вый поезд на запад у нас будет отхо­дить в нача­ле каж­до­го цело­го двух­ми­нут­но­го отрез­ка: в 0 минут, 2 мину­ты, 4 мину­ты и так далее. Запи­шем вре­мя отправ­ле­ния в мину­тах и секун­дах:

0:00

2:00

4:00…

А вот поезд на восток пусть отхо­дит со сме­ще­ни­ем в 30 секунд отно­си­тель­но запад­но­го:

0:30

2:30

4:30…

И там, и там интер­вал меж­ду поез­да­ми в одном направ­ле­нии оди­на­ко­вый — 2 мину­ты. Но полу­ча­ет­ся, что после того, как ушёл поезд на запад, у пар­ня есть 30 секунд, что­бы дождать­ся поез­да на восток, если он не успел на пер­вый. А вот потом у него будет целых пол­то­ры мину­ты после отправ­ле­ния восточ­но­го, что­бы уехать на запад!

Это зна­чит, что если он каж­дый раз слу­чай­но при­хо­дит на стан­цию, то он дол­жен попасть в 30-секундный интер­вал, что­бы уехать на восток, или попасть в 90-секундный интер­вал, что­бы уехать на запад. А раз вто­рой интер­вал в 3 раза боль­ше пер­во­го, то и попа­дать в него и уез­жать на запад парень будет в 3 раза чаще.

Ино­гда судь­ба — это про­стая мате­ма­ти­ка.

Новая должность и выбор зарплаты

Одна­жды про­грам­мист устра­и­вал­ся на рабо­ту, где ему пред­ло­жи­ли само­му выбрать себе зар­пла­ту. Но сде­ла­ли это хит­ро, так, что­бы сра­зу про­ве­рить его про­ф­при­год­ность: дали на выбор два кон­вер­та.

В каж­дом кон­вер­те лежат листоч­ки с оффе­ра­ми — это доку­мент, где напи­са­но пред­ло­же­ние с долж­но­стью, усло­ви­я­ми рабо­ты и зар­пла­той. Два кон­вер­та — два оффе­ра. Кон­вер­ты запе­ча­та­ны.

В одном оффе­ре денег в два раза боль­ше, чем в дру­гом, но никто не зна­ет, где какая сум­ма. Про­грам­ми­сту мож­но открыть один кон­верт, про­чи­тать оффер и решить — оста­вить этот кон­верт или выбрать дру­гой. Под­ска­жи­те про­грам­ми­сту, что луч­ше: оста­вить этот, выбрать дру­гой или без раз­ни­цы?

Решение

Решение обычного человека

Если рас­суж­дать с пози­ции про­сто­го здра­во­го смыс­ла, реше­ние будет таким: игно­ри­ру­ем эти тупые игры, откры­ва­ем оба кон­вер­та, и если сре­ди них есть здра­вый оффер — согла­ша­ем­ся, а нет — до сви­да­ния. Ишь чего взду­ма­ли!

Мож­но ещё ска­зать: «Мне не под­хо­дят оба оффе­ра, но если вы гото­вы пред­ло­жить мне сум­му этих двух оффе­ров, позво­ни­те. Мой номер — про­из­ве­де­ние пер­вых 10 про­стых чисел...»

Но мож­но подой­ти к реше­нию с точ­ки зре­ния мате­ма­ти­ки и ста­ти­сти­ки.

Решение программиста

Что­бы узнать пра­виль­ный ответ, нам пона­до­бит­ся мате­ма­ти­че­ское ожи­да­ние — мы уже рас­ска­зы­ва­ли про него выше в зада­че про фут­бо­ли­ста.

Допу­стим, что про­грам­мист выбрал один кон­верт и обна­ру­жил в нём оффер на Х руб­лей. Зна­чит, в дру­гом кон­вер­те будет оффер либо на 0,5Х руб­лей, либо на 2Х руб­лей.

Посчи­та­ем мате­ма­ти­че­ское ожи­да­ние при выбо­ре того или ино­го реше­ния. Веро­ят­ность нахож­де­ния боль­шей или мень­шей сум­мы оди­на­ко­во и рав­но 50% или 0,5. Зна­чит, если в кон­вер­те лежит 0,5Х руб­лей, мато­жи­да­ние для него будет рав­но 0,5Х × 0,5 = 0,25Х. А если там лежит 2Х руб­лей, то мате­ма­ти­че­ское ожи­да­ние будет такое: 2Х × 0,5 = Х.

Теперь сло­жим эти чис­ла, что­бы узнать общее мато­жи­да­ние, если мы выбе­рем дру­гой кон­верт вме­сто откры­то­го: 0,25Х + Х = 1,25Х.

В откры­том кон­вер­те у нас все­гда оффер на Х руб­лей. 1,25X > X, поэто­му, с точ­ки зре­ния мате­ма­ти­ки, выгод­нее выбрать вто­рой кон­верт, так как сум­мар­ная веро­ят­ность полу­чить боль­ше денег будет выше.

Так­же важ­но пом­нить, что мы гово­рим о мате­ма­ти­че­ском ожи­да­нии и ста­ти­сти­ке: всё это рабо­та­ет на сот­нях и тыся­чах кон­вер­тов, если усред­нить резуль­тат. В отдель­ном кон­крет­ном слу­чае это рас­суж­де­ние не име­ет смыс­ла.

Как выиграть в соревнованиях, когда играешь хуже всех

Андрей, Вова и Сер­гей участ­ву­ют в сорев­но­ва­ни­ях на мячах, их цель — кинуть мяч так, что­бы попасть в любо­го сопер­ни­ка. В кого попа­ли — выбы­ва­ет. Все кида­ют стро­го по оче­ре­ди.

Все зна­ют, что веро­ят­ность того, что Андрей попа­дёт в цель с пер­во­го раза, рав­на 0,3. Веро­ят­ность того, что попа­дёт Сер­гей — 0,5, а Вова вооб­ще нико­гда не про­ма­хи­ва­ет­ся, у него веро­ят­ность 1,0.

Участ­ни­ки по оче­ре­ди кида­ют мяч друг в дру­га, само­сто­я­тель­но выби­рая цель, до тех поp, пока не оста­нет­ся толь­ко один чело­век.

Как Андрею уве­ли­чить свои шан­сы на побе­ду, если он кида­ет мяч пер­вым, но дела­ет это хуже всех?

Сна­ча­ла попы­тай­тесь решить зада­чу само­сто­я­тель­но, а если зай­дё­те в тупик — откры­вай­те реше­ние.

Решение

Опти­маль­ное реше­ние — спе­ци­аль­но кинуть мяч в сто­ро­ну от всех, что­бы целе­на­прав­лен­но про­мах­нуть­ся. Сле­ди­те за циф­ра­ми.

Если Андрей кида­ет мяч в Вову, то попа­да­ет с веро­ят­но­стью 0,3 и выиг­ра­ет, но после это­го Сер­гей кинет в Андрея с веро­ят­но­стью 0,5. Что­бы Андрей побе­дил, Сер­гей дол­жен про­мах­нуть­ся, а Андрей в ответ — попасть. Веро­ят­ность тако­го исхо­да = 0,3 × 0,5 = 0,15. А общая веро­ят­ность побе­дить у Андрея с такой стра­те­ги­ей рав­на:

0,3 × 0,15 = 0,045

Если Андрей кида­ет пер­вый мяч в Сер­гея и попа­да­ет с той же веро­ят­но­стью 0,3, то сле­ду­ю­щим брос­ком Вова попа­да­ет в Андрея, пото­му что нико­гда не про­ма­хи­ва­ет­ся. В этой вет­ке собы­тий Андрей про­иг­рал вооб­ще без шан­сов выиг­рать. Если же Андрей про­ма­хи­ва­ет­ся, то Вова будет кидать в Сер­гея (что­бы выбить наи­бо­лее силь­но­го сопер­ни­ка), и, как все­гда, попа­дёт. Тогда Андрей сле­ду­ю­щим брос­ком выби­ва­ет Вову с веро­ят­но­стью 0,3. Счи­та­ем общую веро­ят­ность выиг­ры­ша:

Андрей кида­ет в Сер­гея и попа­да­ет: шан­сов на выиг­рыш — 0.
Или
Андрей кида­ет в Сер­гея и про­ма­хи­ва­ет­ся — веро­ят­ность 0,7.
Вова кида­ет в Сер­гея и попа­да­ет — веро­ят­ность 1.
Андрей кида­ет в Вову и попа­да­ет — веро­ят­ность 0,3.
Веро­ят­ность выиг­рать в таком слу­чае — 0,7 × 1 × 0,3 = 0,21.

Общая веро­ят­ность побе­дить по ито­гам двух вари­ан­тов раз­ви­тия: 0 + 0,21 = 0,21.

А вот если Андрей спе­ци­аль­но про­ма­хи­ва­ет­ся, то собы­тия раз­ви­ва­ют­ся так (исхо­дя из здра­во­го смыс­ла у осталь­ных сопер­ни­ков).

Вове невы­год­но кидать мяч в Андрея, пото­му что когда он вый­дет из игры, Сер­гей выбьет Вову с веро­ят­но­стью 0,5. Вове выгод­нее кинуть мяч и точ­но попасть в Сер­гея, пото­му что у Андрея веро­ят­ность на побе­ду все­го 0,3.

Полу­ча­ет­ся, что Вова кида­ет мяч в Сер­гея, выби­ва­ет его, а затем Андрей кида­ет в Вову и выиг­ры­ва­ет с веро­ят­но­стью 0,3. Запи­шем это:

Андрей спе­ци­аль­но про­ма­хи­ва­ет­ся — веро­ят­ность 1.
Вова попа­да­ет в Сер­гея — веро­ят­ность 1.
Андрей попа­да­ет в Вову — веро­ят­ность 0,3.
Общая веро­ят­ность собы­тия: 1 × 1 × 0,3 = 0,3.

Полу­ча­ет­ся, что мак­си­маль­ные шан­сы на побе­ду у Андрея толь­ко тогда, когда он спе­ци­аль­но про­мах­нёт­ся. Зву­чит стран­но, но циф­ры есть циф­ры.